Por lo que Impares primos $p$ hace $p - 2 \mid p + 2$ ?

Question

Por lo que Impares primos $p$ hace $p - 2 \mid p + 2$ ?

Por ejemplo, $p = 3$ .

¿Hay otros?

Answer 1

Observe que $\frac{p+2}{p-2}=1+\frac{4}{p-2}$ que es menor que $2$ para $p>6$ .

Así que sólo debemos comprobar $p=3$ y $5$ y sólo la primera funciona.

Answer 2

Podemos ver el problema para cualquier $p\ge2$ , independientemente de si es primo o no. Entonces, tomando $a:=p-2$ y $b:=p+2$ podemos ver que $a=b-4$ Así que $a\mid b \implies a\mid 4$ , dando $a=\{1,2,4\}$ como las únicas posibilidades, y así $p=\{3,4,6\}$ como las soluciones correspondientes.

Por supuesto, sólo uno de ellos es primordial: $p=3$ .

Answer 3

Observe que $$\gcd(p - 2, p + 2) = \gcd(4, p + 2) = \gcd(4, p - 2)$$ para que si $p - 2 \mid p + 2$ entonces $$\gcd(p - 2, p + 2) = p - 2 = \gcd(4, p - 2).$$

Desde $p$ es un primo impar entonces $p \geq 3$ y $p \equiv 1 \pmod 4$ o $p \equiv 3 \pmod 4$ .

En consecuencia, la igualdad sólo puede darse en $$\gcd(p - 2, p + 2) = p - 2 = \gcd(4, p - 2)$$ cuando $p = 3$ .

QED