Quiero ejemplos de libros que avanzan mediante la primera publicación de un problema difícil, que sería muy difícil sin una idea determinada y luego prueban esta idea y el poder de la idea de resolver el problema. Estaría muy interesado en leer un libro como este porque hace muy evidente el poder de las ideas y le da al lector un sentido de empoderamiento aprender estas técnicas.
Actualmente estoy en necesidad de un libro sobre combinatoria como este, pero se agradecería cualquier área.
Un hermoso número teórico-ejemplo es David Cox del libro de los números Primos de la forma $x^2 + n y^2.$ a Continuación es un extracto de la introducción.
La mayoría de los primeros cursos en la teoría de números o álgebra abstracta demostrar un teorema de Fermat, que declara que por una extraña primer p,
$$ p = x^2 + y^2,\ x,y \in \Bbb Z \iff p \equiv 1 \pmod 4.$$
Esta es sólo la primera de muchas relacionadas con los resultados que aparecen en la Fermat obras. Por ejemplo, Fermat también establece que si p es impar primo, entonces
$$\begin{eqnarray} p = x^2 + 2y^2,\ x,y \in \Bbb Z &\iff& p \equiv 1,3 \pmod 8 \\ \\ p = x^2 + 3y^2,\ x,y \in \Bbb Z &\iff& p \equiv 3\ \ {\rm or}\ \ p \equiv 1 \pmod 3.\end{eqnarray} $$
Estos hechos son encantadores en su propio derecho, pero también hacen una curiosidad para saber lo que ocurre para los números primos de la forma $x^2 + 5y^2,\ x^2 + 6y^2,$ etc. Este lleva a la pregunta básica de todo el libro, que se formula de la siguiente manera:
La Pregunta Básica 0.1. $\ $ Dado un entero positivo $n,$ que los números primos $p$ puede ser expresado en la forma $$ p = x^2 + n y^2 $$ donde $x$ $y$ son enteros?
Vamos a responder a esta pregunta, y a lo largo del camino nos vamos a encontrar algunos muy rica áreas de la teoría de números. Los primeros pasos a ser fácil, que involucran sólo a la reciprocidad cuadrática y la teoría elemental de la formas cuadráticas en dos variables a lo largo de $\Bbb Z.$ Estos métodos funcionan muy bien en la casos especiales considerados anteriormente por Fermat. El uso de la teoría de género y cúbicos y biquadratic reciprocidad, podemos tratar algunos de los más de los casos, pero de primaria fallan los métodos para resolver el problema en general. Para continuar, necesitamos campo de clase de teoría. Esto proporciona un resumen de la solución para el problema, pero no da criterios explícitos para una elección particular de la $n$ $x^2 + n y^2.$ El paso final utiliza modular funciones y complejo de la multiplicación para mostrar que para un n dado, existe un algoritmo para responder a nuestra pregunta de cuando $ p = x^2 + n y^2.$
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