Grupo de rotación y grupo de Lorentz

Question

A menudo se afirma que las rotaciones en las 3 dimensiones espaciales son ejemplos de transformaciones de Lorentz.

Pero las transformaciones de Lorentz forman un grupo denominado Grupo de Lorentz, $O(1,3)$ que es un grupo a $4 \times 4$ matrices, $\Lambda$ con la siguiente propiedad:

$$ \Lambda^T g \Lambda = g$$

donde $g$ es el tensor métrico.

Ahora las matrices de rotación para las 3 dimensiones espaciales son $3 \times 3$ matrices y forma $SO(3)$ . ¿Cómo pueden estar en el $O(1,3)$ ?

Answer 1

Se puede incrustar el $3\times3$ matrices de rotación

$$R~\in~ SO(3)~:=~\{R\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid R^tR~=~{\bf 1}_{3\times 3}~\wedge~ \det(R)=1 \}$$

en el $4\times4$ Matrices de Lorentz

$$\Lambda~\in~ O(1,3)~:=~\{\Lambda\in{\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{R}) \mid\Lambda^t\eta \Lambda~=~\eta \}$$

como

$$SO(3)~\ni~R~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~ \Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 &R \end{array} \right]~\in~ O(1,3).$$

No es difícil ver que este incrustación $\Phi:SO(3)\to O(1,3)$ es un inyectiva homomorfismo de grupo

$$\Phi(R_1 R_2)=\Phi(R_1)\Phi(R_2), \qquad R_1,R_2~\in~SO(3).$$

Lo pertinente grupo las operaciones son, para ambos grupos, una simple multiplicación de matrices.

Answer 2

Sí, se trata de un resultado rigurosamente expuesto como: Hay un subgrupo propio de $O(1,3)$ isomorfo a $SO(3)$ . Está formado por el conjunto de transformaciones de Lorentz de la forma:

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & R(3) \end{array}\right)$$

donde $R(3)\in SO(3)$ ,

junto con la operación interna de multiplicación de matrices.