Deje $\operatorname{li}x$ denotar la integral logarítmica $^{[1]}$$^{[2]}$$^{[3]}$: $$\operatorname{li}x=\int_0^x\frac{dt}{\ln t}$$ y $$I=\int_0^1\frac{\ln(-\ln x)\ \operatorname{li}^2x}{x}dx\approx-4.311872263...$$ Es posible expresar la integral de la $I$ en forma cerrada (el uso de números algebraicos, conocido constantes matemáticas, primaria y conocido funciones especiales)?
Respuestas
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Voy a empezar a partir de Vladimir resultado y mi cálculo. Vamos
$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} z^{s-1} \mathrm{Ei}(-z)^{2} \, dz = \frac{2\Gamma(s)}{s} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{u^{s-1}}{1 - u} \, du. $$
Entonces tenemos
\begin{align*} \int_{0}^{\infty} z^{s-1} \mathrm{Ei}(-z)^{2} \log z \, dz &= F'(s) \\ &= F(s) \left( \psi_{0}(s) - \frac{1}{s} \right) + \frac{2\Gamma(s)}{s} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{u^{s-1}\log u}{1-u} \, du. \end{align*}
Conectar $s = 1$ a ambos lados,
\begin{align*} I &= F(1) \left( \psi_{0}(1) - 1 \right) + 2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\log u}{1-u} \, du \\ &= -2(\gamma+1)\log 2 + 2 \left[ \mathrm{Li}_{2}(1-u) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ &= -\zeta(2) - \log^{2} 2 - 2(\gamma + 1) \log 2 \end{align*}
como se desee. Aquí,
\begin{align*} \mathrm{Li}_{2}(z) = - \int_{0}^{z} \frac{\log(1 - t)}{t} \, dt \end{align*}
es el dilogarithm y hemos explotado los valores especiales
\begin{align*} \mathrm{Li}_{2}(1) &= \zeta(2), \\ \mathrm{Li}_{2}\left(\tfrac{1}{2}\right) &= \frac{1}{2}\zeta(2) - \frac{1}{2}\log^{2} 2. \end{align*}
Vladimir Reshetnikov
Puntos
18017
Cambiar la integración de la variable $z=\ln x$, después de aplicar la fórmula de $(12)$. La integral se convierte en $$I=\int_{-\infty}^0\ln(-z)\,\operatorname{Ei}^2z\ dz,\tag1$$ donde $\operatorname{Ei}z$ es la integral exponencial: $$\operatorname{Ei}z=-\int_{-z}^\infty\frac{e^{-t}}t dt.\tag2$$
En esta forma la integral puede ser evaluado por Mathematica: $$I=-\frac{\pi ^2}{6}-\ln^2 2-2\,(1+\gamma)\ln2,\tag3$$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante.
