Demuestra que $|\sin\frac{1}{n^2}|<\frac{1}{n^2}$ , $n=0, 1, 2, \dots$

Question

Como parte de la demostración de que $$ \sum_{n=1}^\infty \left|\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right| $$ converge, terminé tratando de demostrar que $$ \left|\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)\right|<\frac{1}{n^2}, \quad n=1, 2, 3,\dots $$ ya que sé que la suma del lado derecho converge. Pero no puedo demostrarlo. He intentado buscar pero no he podido encontrar nada.

Lo que he probado es que, en primer lugar, los valores absolutos no son necesarios ya que $\sin x>0$ si $0<x<1$ . He reorganizado un poco: $$ \sin\left(\frac{1}{n^2}\right)-\frac{1}{n^2}<0 $$ y la derivada es $$ \frac{2}{n^3}\left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)> 0 $$ por lo que mi idea de mostrar que es decreciente y negativa para la primera $n$ no funcionaría.

¿Cómo puedo mostrar esto? Se agradece la ayuda.

Edición: Tal vez debería añadir que no soy completamente Seguro que es cierto, pero lo he probado numéricamente y parece que sí.

Answer 1

Considere $f(x)=\sin x -x\Rightarrow f'(x)=\cos x-1 < 0 \text { for x > 0 } \Rightarrow f(x)\text{ is strictly decreasing function}$

Pero entonces, $f(0)=0$ lo que implicaría $f(x)< 0 $ para $x > 0$ es decir, $\sin x < x$ para $x >0$

Así, $\sin \big(\frac{1}{n^2}\big)< \frac{1}{n^2}$

¿Implica esto que $|\sin\big(\frac{1}{n^2}\big)|< \frac{1}{n^2}$

Answer 2

En realidad es muy sencillo demostrar que $\sin x\leq x$ para $0<x<1$ que es todo lo que tienes que hacer...

Se puede hacer por definición utilizando un círculo unitario.

Puede hacerlo observando que $\sin 0=0$ y $\cos x<1$ aquí (es decir $\sin x$ crece más lentamente que $x$ aquí).

Answer 3

Si $0 < x < \pi/2$ , $\sin(x)$ es el $y$ --coordenada del punto en el círculo unitario distancia $x$ a través del círculo. Es la distancia más corta de cualquier camino desde el punto $P$ , $(\cos(x), \sin(x))$ a la $x$ --eje. Dado que $x$ describe la longitud de un camino desde $P$ a la $x$ --eje que no es una línea recta, tenemos $\sin(x) < x$ . Haz un dibujo de esto para verlo bien.

Answer 4

Una pista: $|\sin(t)| \le |t|$ de verdad $t$ , con igualdad sólo en $0$ .