La primera variación del volumen de computación: todo confusión

Question

$\DeclareMathOperator{\vol}{vol}$He estado trabajando a través de la computación de la primera variación de volumen se presentan en Jost de la Geometría de Riemann y Geométricas de Análisis (página 196 en la sexta edición, la sección titulada: Mínimo Submanifolds), y he estado recibiendo metidos en la notación, y he tenido un montón de problemas exactamente la comprensión de cómo interpretar las derivadas parciales en este contexto.

Voy a empezar con la instalación: vamos a $M$ ser un suave submanifold de $N$ y deje $F:M\times(-\epsilon,\epsilon)\to N$ ser una variación local con soporte compacto. Por lo suficientemente pequeño como $t$ tenemos que $\Phi_t(\cdot):=F(\cdot,t)$ es un diffeomorphism de $M\to M_t\subseteq N$. Ahora vamos a $\{e_1,\dots,e_m\}$ ser un ortonormales marco en $M$. El uso de este diffeomorphism podemos escribir $$\vol(M_t)=\int_{M}\left\langle\Phi_{t*}e_1\wedge\cdots\wedge\Phi_{t*}e_m,\Phi_{t*}e_1\wedge\cdots\wedge\Phi_{t*}e_m\right\rangle^{\frac{1}{2}}\eta_{M},$$ donde $\langle{\cdot,\cdot}\rangle$ es la inducida por el producto interior en $\bigwedge^m(TN)$$\langle{v_1\wedge\cdots\wedge v_m,w_1\wedge\cdots\wedge w_m}\rangle=\det(\langle{v_i,w_j}\rangle)$, e $\eta_M$ denota la de Riemann forma de volumen en $M$.

A continuación, podemos diferenciar esta con respecto a $t$ encontrar que $$ \left.\frac{d}{dt}\vol(M_t)\right|_{t=0}=\left.\sum_{i=1}^{m}\int_{M}\frac{\left\langle\Phi_{t*}e_1\wedge\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t*}e_i\wedge\cdots\wedge\Phi_{t*}e_m,\Phi_{t*}e_1\wedge\cdots\wedge\Phi_{t*}e_m\right\rangle}{\|\Phi_{t*}e_1\wedge\cdots\wedge\Phi_{t*}e_m\|}\eta_M\right|_{t=0}$$

• Mi primera pregunta es acerca de la notación $\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t*}e_i$. Debo interpretar esto como sigue: vaya a $\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to TN$ ser dado por $\gamma(t)=\Phi_{t*}e_i\in T_{\Phi_{t}(p)}M$. Entonces no $\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t*}e_i$ simplemente decir $d\gamma\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)$, donde, naturalmente, a identificar a $T(T_qN)\cong T_qN$?

Él va a considerar el campo de vectores $X:=\left.\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t}\right|_{t=0}$. Estoy suponiendo que la interpretación de este vector campo es el mismo que antes.

Mi principal confusión es con esta parte:

Para calcular los $\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t*}e_i$ $t=0$ consideramos una curva de $c_i(s)$ $M$ $c_i(0)=p$ $c_i'(0)=e_i$ y deje $c_i(s,t):=\Phi_t(c_i(s))$. Entonces $$\left.\Phi_{t*}e_i=\frac{\partial}{\partial s}c_i(s,t)\right|_{s=0}.$$

• ¿Cómo puedo justificar esto? Definitivamente vive en la derecha el espacio de la tangente desde $c_i(0,t)=\Phi_t(p)$, pero ¿por qué coincidir con el pushforward $d\Phi_t(e_i)$. Probablemente estoy perdiendo algo bastante fundamental.

Continuando con los cálculos que hemos $$\left.\frac{\partial}{\partial t}\Phi_{t*}e_i\right|_{t=0}=\left.\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial s}c_i(s,t)\right|_{s=t=0}=\left.\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial}{\partial t}c_i(s,t)\right|_{s=t=0}=\left.\nabla^N_{\frac{\partial}{\partial s}}X\right|_{s=0} =\nabla^N_{e_i}X, $$ donde $\nabla^N$ es la de Levi-Civita de conexión en $N$.

• Mi pregunta es ¿por qué las derivadas parciales de conmutar en este caso? De nuevo, ¿cómo debería de estos mixto parciales ser entendido, y lo que justifica este cálculo? Incluso intuitivamente, no tiene sentido para mí que deberían.

Answer 1

$\def\p{\partial}$Durante el segundo punto sólo se necesita la regla de la cadena: por definición tenemos $$e_i = c'_i(0) = Dc_i (\frac\p{\p s}\Big|_{s=0}),$$ so since $c_i(\cdot,t) = \Phi_t \circ c_i$ we have $$\frac \p{\p s}\Big|_{s=0}c_i(s,t)=D(\Phi_t \circ c_i)\left(\frac{d}{ds}\right)=D\Phi_t\left(Dc_i(\frac{d}{ds})\right)=D\Phi_t(e_i).$$

Para la primera y la última pregunta: creo Jost la notación es un poco confuso aquí, ya que (como se observa en su mayoría de la interpretación literal de la cantidad $$\frac{\p}{\p t}\frac{\p}{\p s}c_i(s,t)$$ should live in the double tangent bundle $T(TM)$, since the base point $\Phi_t (p)$ of the vector $\p c_i / \p s$ varies with $t$. If $\Phi_t (p)$ really is varying in time (i.e. if $X_p \ne 0$) then your $d\gamma(\frac \p {\p t})$ isn't vertical in $T(TM)$, so the identification you propose doesn't make sense - remember that $TM$ has twice the dimension of $M$, so it is only the vertical subspace of $T_v TM$ that we can identify with $T_{\pi(v)} M$.

Lo que realmente se trata es de la derivada covariante a lo largo de la curva: por ejemplo do Carmo iba a escribir esto como $$\frac{\nabla}{\p t}\frac{\p c_i}{\p s} := \nabla_{\p c_t/\p t} \frac{\p c_i}{\p s}.$$ (do Carmo usa $D$ en lugar de $\nabla$, que parece menos tonto.) De hecho, desde la mirada de ella, Jost cambia a una más sensata de notación en el siguiente capítulo.

El hecho de que $$\frac{\nabla}{\p t} \frac{\p c_i}{\p s} = \frac{\nabla}{\p s}\frac{\p c_i}{\p t}$$ se sigue inmediatamente de la simetría de los símbolos de Christoffel (es decir, el hecho de que la conexión es de torsiones) cuando se escribe en coordenadas. Por ejemplo, es Lema 3.4 en do Carmo de la Geometría de Riemann o Prop 44.1 en O'Neill, el Semi-Geometría de Riemann (...). Si usted se encuentra no entender algo como esto en Jost entonces te recomiendo refiriéndose a un texto más como uno de ellos - de Jost se consigue a través de una gran cantidad de material en ese libro, por lo que es bastante breve con los conceptos básicos.