¿Qué es un ejemplo de una función que es medible pero no fuertemente medible?

Question

Deje $(\Omega, \Sigma)$ ser un espacio medible y $X$ un espacio de Banach. Deje $f: \Omega \rightarrow X$.

• $f$ se llama medible si toda la preimagen de cada conjunto de Borel en $X$ es un elemento de $\Sigma$.
• $f$ se llama fuertemente medible si $f$ es el pointwise límite de una sucesión de funciones simples.

Se sabe que fuertemente medible y cuantificable son equivalentes al $X$ es separable. Por esta razón, la noción de una fuerte capacidad de medición sólo es relevante cuando se trata de Bochner integración en todos los casos. ¿Cuál es un ejemplo de una función $f$ tomando valores en un no-separable espacio de Banach $X$ tal que $f$ es medible pero no fuertemente medible?

Answer 1

Permítanme tratar de demostrar que no hay ningún contraejemplo al $(\Omega, \Sigma) = ([0, 1], \Sigma)$ donde $\Sigma$ es la clase de Lebesgue medibles subconjuntos de a $[0, 1]$.

Reclamo: Supongamos $X$ es un espacio métrico y $f:[0, 1] \rightarrow X$ es medible - Esto significa preimages de conjuntos de Borel son Lebsgue medibles. Entonces, no es Lebesgue nula set $N \subset [0, 1]$ de manera tal que la imagen de $f \upharpoonright [0, 1] \backslash N$ es separable.

Prueba: Supongamos que no. Deje $\{A_n : n \geq 1\}$ ser una máxima de la familia de pares distintos medida positiva subconjuntos de a $[0, 1]$ de manera tal que la imagen de $f \upharpoonright A_n$ es separable. Deje $B = [0, 1] \backslash \bigcup_{n \geq 1} A_n$. Si $B$ es nulo, hemos terminado. Así que supongamos lo contrario. WLOG, suponga $B = [0, 1]$. Deje $m$ ser una medida de Borel en $X$ definido por $m(E) = \mu(f^{-1}(E))$. Tenga en cuenta que siempre que $E$ es separable, $m(E) = 0$. Deje $\mathcal{F}$ ser parte de la familia de abrir todas las bolas en $X$ se $m$-null. A continuación, pretendemos que $U = \bigcup \mathcal{F}$ $m$- null. Supongamos esto y terminar la prueba. Deje $Y = X \backslash U$. A continuación, cada bola abierta en $Y$ positivo $m$-medida. Si $Y$ no es separable, entonces podemos encontrar una cantidad no numerable de pares distintos abrir bolas en $Y$ positivos $m$-medida de que es imposible. Ahora, en una contradicción, supongamos $m(U) > 0$. Entonces la familia $\mathcal{N} = \{f^{-1}[V]: V \in \mathcal{F}\}$, se compone de pares distintos Lebesgue nula subconjuntos de a $[0, 1]$ cuya unión $W$ no es null y la unión de cada subfamilia de $\mathcal{N}$ es Lebesgue medible. Deje $T \subset [0, 1]$ ser un conjunto de reales de tamaño continuum que no contiene ningún conjunto perfecto (así que usted puede tomar $T$ a ser un conjunto de Bernstein). Deje $h: W \rightarrow T$ ser una función tal que el conjunto de preimages de puntos en $T$ es de la familia $\mathcal{N}$. A continuación, $h$ es Lebesgue medible. Por Lusin del teorema, la restricción de $h$ a una medida positiva subconjunto compacto $K \subseteq W$ es continua. Pero $h[K]$ es un incontable subconjunto compacto de $T$ lo cual es imposible.