Cómo probar $\frac{\pi^2}{6}\le \int_0^{\infty} \sin(x^{\log x}) \ \mathrm dx $ ?

Question

Quiero demostrar la desigualdad $$\frac{\pi^2}{6}\le \int_0^{\infty} \sin(x^{\log x}) \ \mathrm dx $$

Hay algunos obstáculos a los que me enfrento: la integral indefinida no se puede expresar en términos de funciones elementales,
Las series de Taylor conducen a otra función que no se puede expresar en términos de funciones elementales. ¿Qué otra cosa se puede intentar?

Answer 1

No creo que esto pueda hacerse de forma analítica, pero sí mediante aproximaciones. Mi idea general sería aproximar algunos de los ceros del integrando que son mayores que 2 (creo que 6 de ellos serán suficientes) notando que la distancia entre ceros consecutivos disminuye rápidamente. Entonces podemos estimar el valor de la integral entre cada dos ceros consecutivos. Lo mismo se hace para varios de los ceros menores que 2 (esta vez bastan 3). De esta manera llegaremos a una aproximación entre 1,69 y 1,64.

Obsérvese que el valor de la integral entre cada par de ceros consecutivos se alterna entre positivo y negativo, pero es estrictamente decreciente en valor absoluto (para $x>2$ y para $x<2$ ). Si hemos escogido bien los ceros aproximados significará que el valor de la integral en el intervalo (infinito) que no hemos examinado será positivo, lo que concluye la prueba.