$\mathbb{R}$ No es grupo con la operación$\circ$ pero$\mathbb{R}\setminus \{p\}$ es, find$p$

Question

He ejercicio para el examen y no puedo encontrar una solución para eso

Conjunto de los números reales con la operación $\circ$ no es un grupo, pero en conjunto $\mathbb{R}\setminus \{p\}$ es. Encontrar $p$ y verificación de todos los axiomas de grupo.

$$un \circ b = a + b - \frac{5ab}{3}$$

Traté de encontrar la solución por mí mismo, y comenzar con la búsqueda de elemento de identidad:

$$un \circ e = a \\ a+e - \frac{5ae}{3} = \\ e - \frac{5ae}{3} = 0 \\ 3e = 5ae\\ a = \frac{3}{5}$$

Pero este es el valor por lo $(a = \frac{3}{5} \lor b = \frac{3}{5}) \Rightarrow a \circ b = \frac{3}{5}$, por lo que no es elemento de identidad (que va a ser uno si y sólo si $a = b = \frac{3}{5}$).

Answer 1

El elemento de identidad es claramente$0$, la solución a$3e=5ae$ que te perdiste.

Ahora necesita encontrar$a^{-1}$ para$a\ne 0$. Usted quiere

ps

O$$0=a\circ a^{-1}=a+a^{-1}-\frac{5aa^{-1}}3\;,$, es decir,$a^{-1}(5a-3)=3a

Esto está bien a menos que$$a^{-1}=\frac{3a}{5a-3}\;.$, así que necesitas tirar$a=\frac35$y mostrar que$p=\frac35$ es un grupo.