Relación entre funtores adyacentes $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$

Question

Me estoy enterando de los siguientes hechos:

$1)$ Si un functor $\mathcal{F}$ es adjunto a la derecha de $\mathcal{G}$ entonces $\mathcal{F}$ preserva los límites y $\mathcal{G}$ preserva los colímetros. En particular para las categorías abelianas, $\mathcal{F}$ conserva los granos y $\mathcal{G}$ conserva los cokernels.

$2)$ Para un anillo conmutativo con unidad $A$ y $M$ un $A$ -módulo, entonces $\mathcal{H}:=\hom_A(M,-)$ es adjunto a la derecha de $\mathcal{T}:=\,-\otimes_A M$ . En particular, $\mathcal{H}$ conserva los granos y $\mathcal{T}$ conserva los cokernels.

$3)$ $\hom_A(M, -)$ es exacta $\implies$ $-\otimes_A M$ es exacta (o: $M$ es proyectiva $\Rightarrow M$ es plana)

¿Es posible demostrar $3)$ directamente de $1)$ y $2)$ ?

O más generalmente: si tengo un par adjunto $(\mathcal{F}$ , $\mathcal{G})$ con uno de ellos exacto, ¿puedo concluir algo sobre la exactitud del otro?

Answer 1

Una pregunta muy interesante. No creo que se consiga nada en general, por desgracia. Una clase importante de ejemplos son los funtores de sheafificación. El adjunto izquierdo de la inclusión de cualquier categoría de gavillas en presheaves preserva los límites finitos (lo que a menudo se denomina ser exacto a la izquierda, incluso en el caso no aditivo). Sin embargo, su adjunto derecho, el propio functor de inclusión, rara vez preserva colímites finitos. Este es el resultado conocido, en el caso aditivo, de que el cokernel de un mapa de gavillas no es generalmente una gavilla.