Aproximación $\int_0^1 \cos(x^2)dx$ con series de potencias

Question

Me gustaría calcular $\int_0^1 \cos(x^2)dx$ con un error inferior a $10^{-6}$ (este error debe probarse).

Tengo una estrategia, pero no estoy muy seguro de que sea válida. Esto es lo que hice:

Sé que la representación en serie del coseno es: $$\cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$$ Como los límites de la integral que quiero calcular sólo van de $0$ a $1$ puedo utilizar el hecho de que $a_k :=\frac{x^{2k}}{(2k)!}$ es una secuencia descendente para $x \in [0,1]$ . Entonces utilizaría la estimación del criterio de Leibnitz, que para caída positiva $a_k$ con

$$s_n := \sum_{k=1}^n (-1)^k a_k$$ la desigualdad $|s - s_n|\le a_{n+1}$ es válido, mientras que $s$ denota el límite de $s_k$ .

Entonces podría decir que para $n=9$ :

$$|\cos(x)-s_9| \le \frac{1}{(2\cdot 10)!}$$

Entonces calcularía $\int_0^1 \sum_{k=0}^9 (-1)^k \frac{x^{4k}}{(2k)!}dx$

La estimación que obtengo parece correcta, sin embargo no estoy seguro de si mi prueba anterior es suficiente o no. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tienes que cambiar el orden de lo que estás haciendo. Primero integra, luego une las series:

$$\int_0^1 \cos(x^2) \; dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{4k}}{(2k)!} \; dx =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(4k+1)(2k)!}. $$

Así que el error en $s_n$ está limitada por $$\frac{1}{(4(n+1)+1)(2(n+1))!}.$$ Y $n=4$ es suficiente.