Paquete de fibra en categoría topológica y categoría suave.

Question

Sea$M$ un colector liso y$G$ sea un grupo de Lie. Denota por$Bun(M,G)$ el conjunto de todo el paquete principal suave equivalente en$M$ con el grupo estructural$G$ en la categoría suave. Y denote por$Bun(M,G)_{top}$ el conjunto de todo el paquete principal equivalente en$M$ con grupo estructural$G$ en la categoría topológica cuando$G$ es considerado como un grupo topológico. Entonces tenemos un mapa natural$\varphi:Bun(M,G) \rightarrow Bun(M,G)_{top}$. Si$\varphi$ es una biyección y cómo probarlo?

Answer 1

Sí, lo es. Esto toma un poco de teoría: usted tiene que saber que $G/K$ es contráctiles para $K$ a un máximo compacto subgrupo. Esto implica que un $G$ paquete (liso o no) es equivalente a un $K$ paquete. Ahora para un compacto de Lie del grupo de $K$ contamos con una suave estructura en $EK$$BK$, que es generalmente de dimensiones infinitas, y de tal manera que lisa se asigna a $BK$ clasificar liso $K$-paquetes. Este se construye a través de una representación fiel de $K$ en un número finito de dimensiones del espacio y la teoría de directo de los límites de los colectores.

Ahora incluso sin finito-dimensionalidad de la habitual Adrs del teorema implicaciones sobre smoothability de continuo mapas de seguir a la espera. Así, un continuo de equivalencia de suave paquetes de $E,E'$ corresponde a un homotopy de suave clasificación de los mapas de $e,e':M\to BK$ que puede ser suavizada, lo $E,E'$ sin problemas equivalente, y un manojo continuo $E$ corresponde a una continua $e:M\to BK$ que puede ser suavizada, produciendo un continuo isomorfismo de $E$, con un buen paquete.