$5$ Preguntas sobre la definición del triple de Gelfand

Question

Deje $(H,\langle\;\cdot\;,\;\cdot\;\rangle)$ ser un espacio de Hilbert sobre $\mathbb F\in\left\{\mathbb R,\mathbb C\right\}$, $\left\|\;\cdot\;\right\|$ ser la norma inducida por $\langle\;\cdot\;,\;\cdot\;\rangle$ $\Phi$ ser un subespacio de $H$.

Pregunta 1: ¿por Qué nos encontramos con una más fina que la topología $\tau$ $\Phi$ tal que $$\iota:(\Phi,\tau)\to(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)\;,\;\;\;x\mapsto x\tag 1$$ es continua?

Pregunta 2: ¿por Qué es ninguna pérdida de suponer que $\Phi$ es denso en $(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)$?

Ahora, vamos a $$\Phi^\ast\stackrel{\text{def}}=\left\{f:\Phi\to\mathbb F\mid f\text{ is continuous and linear}\right\}\tag 2$$ denote the dual space of $\Phi$. Then, for all $f\en\Phi^*$ there is exactly one $\phi\en\Phi$ such that $$f\equiv\langle\;\cdot\;,\phi\rangle\tag 3$$ por el Fréchet-Riesz teorema de representación.

Permítanme citar el artículo de Wikipedia sobre el Gelfand triple:

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Consideramos que la inclusión de la doble espacios de $H^\ast$$\Phi^\ast$. El último, doble a $\Phi$ en su función de prueba' de la topología, se realiza como un espacio de distribuciones o funciones generalizadas de algún tipo, y los funcionales lineales sobre el subespacio $\Phi$ de tipo $$\phi\mapsto\langle v,\phi\rangle$$ for $v$ in $H$ are faithfully represented as distributions (because we assume $\Phi$ denso).

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Yo no puedo hacer mucho sentido de este párrafo.

Pregunta 3: En $(1)$ nos había considerado la inclusión de $\Phi$$H$. ¿Por qué consideramos ahora la inclusión de $H^\ast$$\Phi^\ast$? Por otra parte, dada la definición de la doble espacio en $(2)$, no tendremos $H^\ast\subseteq\Phi^\ast$ si $\Phi=H$. Así que, ¿qué se entiende por inclusión aquí?

Pregunta 4: ¿qué es Lo que entendemos por 'la función de prueba de' la topología? Es que un nombre de fantasía para $\tau$?

Pregunta 5: no tengo idea de lo que significan en la última frase. Yo no estoy familiarizado con las distribuciones. Es que esto de alguna manera relacionados con el $(3)$? Y ¿por qué necesitamos la densidad de $\Phi^\ast$?

Answer 1

Respuesta a la pregunta 1: Vamos a $\left|\;\cdot\;\right|$ ser una norma en $\Phi$. Desde $\iota$ es lineal, es continua si y sólo si $$\left\|\phi\right\|\le c|\phi|\;\;\;\text{for all }\phi\in\Phi\tag 1$$ for some $c>0$. Since $\Phi$ is a subset of $H$ we can choose $\left|\;\cdot\;\right|$ to be the restriction of $\left\|\;\cdot\;\right\|$ to $\Phi$ and $c=1$. Now we can choose $\tau$ to be the topology induced by $\left|\;\cdot\;\right|$. It's clear, that the topology of open sets in $(\Phi,\left\|\;\cdot\;\right\|)$ is contained in $\tau$, i.e. $\tau$ is finer and hence $\iota$ es un continuo de la incrustación.

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** Respuesta a la pregunta 2**: no estoy seguro de por qué el estado, que no es ninguna pérdida de suponer que $\Phi$ es denso en $(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)$. Sin embargo, se podría decir lo siguiente:

Deje $(\;\cdot\;,\cdot\;)$ del producto interior en $\Phi$ derivado de $(H,\langle\;\cdot\;,\;\cdot\;\rangle)$. Entonces, hay un espacio de Hilbert $\tilde H$ que contiene un subespacio denso $\tilde\Phi$ tal que $\tilde H$ es único hasta isométrica isomorphy y $\tilde\Phi$ es isométricamente isomorph a $\Phi$. $$\tilde H=:\overline\Phi^{(\;\cdot\;,\cdot\;)}$$ is called completion of $\a la izquierda(\Phi,(\;\cdot\;,\cdot\;)\right)$.

Ahora, podemos estar dispuestos a reemplazar a $(H,\Phi)$$(\tilde H,\tilde\Phi)$. En el mencionado sentido, es "sin pérdida" para asumir la densidad. Al menos si el objeto principal de interés es $\Phi$ (y no $H$).

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Respuesta a la pregunta 3: Claramente, $$\left.f\right|_{\Phi}\in\Phi^\ast\;\;\;\text{for all }f\in H^\ast\;.$$

Deje $(X,\left\|\;\cdot\;\right\|_X)$ ser una normativa espacio $\Rightarrow$ $$\left\|f\right\|_{X^\ast}:=\sup_{\left\|x\right\|_X=1}|f(x)|$$ is a norm on $X^\ast$.

Voy a suponer, que $\tau$ es generado por una norma en $\Phi$. Según el artículo de la Wikipedia, debemos ser capaces de demostrar el siguiente resultado sin esta suposición. Tal vez alguien más es capaz de proporcionar una respuesta dirigidas a este tema.

Desde $$\iota^\ast:H^\ast\to\Phi^\ast\;,\;\;\;f\mapsto\left.f\right|_{\Phi}\tag 2$$ is linear and $$\left\|\iota^\ast(f)\right\|_{\Phi^\ast}\le\left\|f\right\|_{H^\ast}$$ by definition of the supremum, $\iota^\ast$ is continuous. Now, we need to prove, that $\iota^\ast$ es inyectiva:

• Deje $f\in H^\ast$ $g:=\left.f\right|_{\Phi}$
• Desde $\Phi$ es denso en $(H,\left\|\;\cdot\;\right\|)$, para todos los $x\in H$, hay una secuencia $(\phi_n)_{n\in\mathbb N}$ tal que $$\left\|\phi_n-x\right\|\stackrel{n\to\infty}\to 0$$ and hence (since $f$ is continuous) $$|g(\phi_n)-f(x)|\stackrel{n\to\infty}\to 0$$
• Por lo tanto, $f$ está determinada únicamente por sus valores en $\Phi$, es decir, $\iota^\ast$ es inyectiva

Así, podemos concluir, que el $H^\ast$ es continuamente incrustado en $\Phi^\ast$, $$H^\ast\hookrightarrow\Phi^\ast\;,\tag 3$$ which is most probably what they mean by "$H^\ast\subseteq\Phi^\ast$".

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4 de la pregunta y la Pregunta 5 todavía están abiertos y pueden ser respondidas por alguien más. Sin embargo, permítanme repetir que el hecho de que para cada una de las $f\in H^\ast$ no es exactamente una $x=x(f)\in H^\ast$ tal que $$f\equiv\langle\;\cdot\;,x\rangle$$ and hence $$H^\ast\to H\;,\;\;\;f\mapsto x(f)\tag 4$$ is injective. Since $\langle\;\cdot\;,x\rangle\H^\ast$ for all $x\in H$, $(4)$ is even bijective. Thus, we can identify $H^\ast$ and $H$ and summarize $$\Phi\hookrightarrow H\cong H^\ast\hookrightarrow\Phi^\ast\;.$$