No tengo tiempo para hacer el cálculo completo (¡será bastante largo!), pero indicaré lo que creo que son los pasos que te llevan a ello:
Comenzamos con nuestra congruencia dada por el campo vectorial normalizado $u^a$ , $u_au^a=-1$
La derivada covariante de $u^a$ se divide en una parte paralela a la congruencia y otra ortogonal a ella: $$\nabla_au_b=-u_a\dot{u_b}+{\tilde{\nabla}}_au_b $$ Donde la derivada de la tilde se define proyectando ortogonalmente a $u^a$ $${\tilde{\nabla}}_au_b=h_a^ch_b^d\nabla_cu_d $$ $$h_a^b=\delta_a^b+u_au^b $$ Ahora podemos descomponer ${\tilde{\nabla}}_au_b$ en sus partes irreductibles $$ {\tilde{\nabla}}_au_b = \omega_{ab}+\frac{1}{3}\Theta h_{ab}+\sigma_{ab}$$ Dónde $\omega_{ab}$ es la parte antisimétrica, $\Theta$ es la parte de la traza, y $\sigma_{ab}$ es la parte simétrica sin trazas.
En la mayoría de las derivaciones de las ecuaciones de Gauss-Codazzi, suponen que $u_a$ está libre de vorticidad ( $\omega$ es la vorticidad). Aquí no podemos hacer esa suposición. Queremos investigar la curvatura ortogonal a la congruencia por lo que queremos calcular $$({\tilde{\nabla}}_a{\tilde{\nabla}}_b-{\tilde{\nabla}}_b{\tilde{\nabla}}_a)X_c $$ donde X es un campo vectorial ortogonal a la congruencia. Sustituyendo directamente la ${\tilde{\nabla}}$ factores un par de páginas de cálculo me llevaron a $$ ({\tilde{\nabla}}_a{\tilde{\nabla}}_b-{\tilde{\nabla}}_b{\tilde{\nabla}}_a)X_c$$ $$=2\omega_{ab}{\dot{X}}_{<c>}+(^{\perp}R_{abcd})X_d+(K_{cb}K_{da}-K_{ca}K_{db})X^d $$ donde $$K_{ab}={\tilde{\nabla}}_bu_a $$ (Estoy utilizando los paréntesis angulares y las derivadas temporales definidas en las ecuaciones (9) y (10) de su referencia y el perp sólo significa proyectar todos los índices libres utilizando el $h$ 's. También la sección de Gauss Codazzi en Wald es útil aquí. Oh BTW no puedo garantizar los signos y factores de dos!).
Creo que el siguiente paso sería contactar con esta ecuación para obtener el deseado tensor de tres Ricci. Contiene todos los ingredientes de tu deseada ecuación (54). El único problema es que todavía tienes el tensor de Riemann (proyectado) involucrado. Para deshacerte de él tendrías que usar las ecuaciones de campo - esto traerá ingredientes como $\pi_{ab}$
Lo siento, es más una pista larga que una respuesta, pero es un cálculo bastante complicado. (puede que ya lo hayas completado tú mismo...)
