¿Cómo se halla el área de un paralelogramo con los vértices?

Question

¿Cómo se halla el área de un paralelogramo con los siguientes vértices? $A(4,2)$ , $B(8,4)$ , $C(9,6)$ y $D(13,8)$ .

Answer 1

El valor absoluto del producto cruzado de dos vectores $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^3$ que abarca el paralelogramo es su área:

$$A_\text{parallelogram}= \left|\vec{a}\times\vec{b}\right|$$

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Así que en su caso tenemos que escribir los puntos en $\mathbb{R}^2$ como vectores en $\mathbb{R}^3$ y aplicar la fórmula:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}8\\4\\0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}$

$\vec{AD} = \begin{pmatrix}13\\8\\0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\\6\\0\end{pmatrix}$

$A_\text{parallelogram}= \left|\vec{AB}\times\vec{AD}\right| = \left| \begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}9\\6\\0\end{pmatrix} \right| = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} \right| = 6$

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Habrás notado que esto se simplifica a

$$A_\text{parallelogram}= (b_1 - a_1)(d_2-a_2)-(b_2-a_2)(d_1-a_1)$$ $$= (8 - 4)(8-2)-(4-2)(13-4)=-24-(-18)=6$$

Answer 2

Para ello, tenemos previsto utilizar la fórmula de Shoelace.

Fórmula de los cordones: Dadas las coordenadas de los vértices de un polígono, su área se halla mediante $$A=\frac 12\left|\sum_{i=1}^{n-1}x_iy_{i+1}+x_ny_1-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_i-x_1y_n\right|$$ O, en otras palabras, tenemos $$A=\frac 12|x_1y_2+x_2y_3+\ldots x_{n-1}y_n+x_ny_1-x_2y_1-x_3y_2-\ldots -x_ny_{n-1}-x_1y_n|$$ Dónde $A$ es el área del polígono, y $(x_i,y_i)$ con $i=1,2,3\dots$ son los vértices del polígono

Así que en tu caso, los vértices son $A(4,2), B(8,4), C(9,6)$ y $D(13,8)$ . Dejamos que $x_1=13,y_1=8,x_2=9,y_2=6,x_3=4,y_3=2,x_4=8,y_4=4$ y el área viene dada por $$A=\frac 12|13\cdot 6+9\cdot 2+4\cdot 4+8\cdot 8-9\cdot 8-4\cdot 6-8\cdot 2-13\cdot 4|\\=\frac 12\cdot 12=6$$

Answer 3

Hay muchas formas, como la Teorema del cordón y Teorema de Pick .

Si tienes un gráfico, también puedes simplemente dibujar un rectángulo alrededor de la forma y restar las partes que no quieres.

Answer 4

Creo que es un caso especial del teorema del cordón. Un cuadrado está formado por dos triángulos y el área de un triángulo es

$${1\over 2}{|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|}$$

O puede utilizar la fórmula de la distancia

$$distance = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

y luego la fórmula de la garza

$$A = {1\over 2}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c))}$$ Donde s es el semiperímetro del triángulo y, a,b,c son las longitudes de sus lados.

Answer 5

Para cualquier cuadrilátero el área es la mitad de la magnitud del producto cruzado de los dos vectores diagonales.