Encontrar todas las soluciones enteras posibles a$x_1+x_2+ \ldots$ donde las variables tienen coeficientes

Question

Sé cómo encontrar soluciones enteras a ecuaciones de la forma$x_1+x_2+x_3=n$. Usarías estrellas y barras y harías${n+2}\choose{2}$.

Pero ¿qué pasa si la ecuación es de la forma$x_1+3x_2+4x_3=n$. Esto es para el problema en el que desea distribuir n dulces entre 3 cajas de diferentes tamaños. Un tamaño sostiene un caramelo, otro tiene$3$ caramelos, y el otro tiene$4$ dulces. Y cada caja debe estar completamente llena.

¿Es posible utilizar el enfoque de la ecuación para este problema? Y si es así, ¿cómo?

Answer 1

En este caso, su problema es análogo a:

Encontrar el coeficiente de$t^n$ en la expansión de$$(1+t+t^2+t^3+\dots)(1+t^3+t^6+t^9+\dots)(1+t^4+t^8+t^{12}+\dots)

Puedes relacionar tu pregunta con esto de la siguiente manera:
Término general de la expansión anterior =$t^{x_1}\cdot t^{3x_2}\cdot t^{4x_3}=t^{x_1+3x_2+4x_3}$

Y estamos requiriendo el coeficiente de$t^n$.

Así que el coeficiente será igual al número de soluciones de$x_1+3x_2+4x_3=n$.