Cómo resolver ecuaciones diferenciales de la forma$f'(x) = f(x + a)$

Question

¿Qué se puede hacer para encontrar soluciones para$f'(x) = f(x + a)$ para varios valores de$a$?

Sé que$c_1\sin(x + c_2)$ es solución cuando$a = \frac{1}{2}\pi$, y por supuesto$c_1e^x$ cuando$a = 0$.

Por ejemplo, ¿hay una función que satisface$f'(x) = f(x + 1)$? ¿Qué hay de negativo o imaginario$a$?

¿Existe posiblemente una generalización?

(Edit: Supongo que tenía soluciones analíticas en mente, pero wow, dos buenas respuestas!)

Answer 1

Para hacer las cosas un poco más natural, voy a considerar la ecuación $f'(x)=f(x-a)$, $a>0$. Como se observa en los comentarios, esto es una (lineal) retraso de la ecuación diferencial. Dada una función continua $\phi\colon[-a,0]\to\mathbb{R}$, existe una única función continua $f\colon[-a,\infty)\to\mathbb{R}$, con continuas derivado en $(0,\infty)$, de tal manera que $f(x)=\phi(x)$$x\in[-a,0]$$f'(x)=f(x-a)$$x>0$.

La solución de $f$ está construido de forma recursiva en los intervalos $[na,(n+1)a]$, $n=0,1,2\dots$

Si $x\in[0,a]$, luego $$ f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt=f(0)+\int_0^xf(t-a)dt=\phi(0)+\int_{-a}^{x}\phi(t)dt. $$ Si $x\in[a,2a]$, luego $$ f(x)=f(a)+\int_a^xf'(t)dt=f(a)+\int_a^xf(t-a)dt=f(a)+\int_0^{- x}f(t)dt, $$ que está bien definida, ya que en el paso anterior hemos calculado $f$$[0,a]$. Iterando este procedimiento, podemos encontrar $f$ sobre cualquier intervalo de $[0,na]$. Sólo en raras ocasiones es posible obtener un cerrado fórmula para $f$.

Ejemplo: $a=1$, $\phi(x)=x^2$.

Para $x\in[0,1]$ $$ f(x)=\phi(0)+\int_{-1}^{x-1}t^2dt=x-x^2+\frac{x^3}{3}. $$ Para $x\in[1,2]$ $$ f(x)=f(1)+\int_{0}^{x-1}\Bigl(t-t^2+\frac{t^3}{3}. \Bigr)dt=\frac{5}{4} - \frac{7 x}{3} + 2 x^2 - \frac{2 x^3}{3} + \frac{x^4}{12}. $$ Para $x\in[2,3]$ $$ f(x)=f(2)+\int_{1}^{x-1}f(t)dt=\frac{x^5}{60}-\frac{x^4}{4}+\frac{3 x^3}{2}-\frac{13 x^2}{3}+\frac{19 x}{3}-\frac{197}{60}. $$ El gráfico muestra la suavidad de $f$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x) = e^{cx}$ es una solución si $c = e^{ca}$. Esto puede ser resuelto por $c$ en términos de la función W de Lambert: $c = - W(-a)/a$. La función W de Lambert tiene una infinidad de ramas, cada una de las cuales da una solución. Hay dos soluciones reales si $0 < a < 1/e$, uno de los si $a \le 0$ o $a = 1/e$, ninguno si $a > 1/e$. Por supuesto, las combinaciones lineales de las soluciones de su retardo diferencial de la ecuación son soluciones. En particular, dado un par de complejo conjugado $c = r \pm i s$ (real $a$), obtenemos las soluciones reales de la demora ecuación diferencial tomando la parte real e imaginaria de $e^{cx}$, es decir,$e^{rx} \cos(sx)$$e^{rx} \sin(sx)$.

Por ejemplo, para $a = 1$ el más pequeño de los valores de $c$ aproximadamente $ 0.3181315052 \pm 1.337235701\,i$, $2.062277730 \pm 7.588631178\,i$, $ 2.653191974 \pm 13.94920833\,i$,$ 3.020239708 \pm 20.27245764\,i$, $3.287768612 \pm 26.58047150\,i$, $3.498515212 \pm 32.88072148\,i$, $3.672450069 \pm 39.17644002\,i$.