Homología simplicial para n-simplex

Question

Acabo de empezar a estudiar la teoría de la homología. Y estoy tratando de calcular todo$H_n(\Delta_N)$ para algunos$N$. Sé que el número de$m$ - simplex en$N$ - simlex es$b_{N,m}={N+1 \choose m+1}=\frac{(N+1)!}{(m+1)!(N-m)!}$.

Asi que $C_0=\mathbb Z^{N+1}$, $C_1=\mathbb Z^{\frac{N(N+1)}{2}}$, ... , $C_N=\mathbb{Z}$, $C_{N+1}=0$, ...

Y aquí tengo un malentendido. Como ya sé, debería calcular$H_n(\Delta_N)=Ker(\partial_n)/Im(\partial_{n+1}))$. Al contrario de los ejemplos estándar, no sé qué debo hacer a continuación. Tal vez hay alguna otra manera de resolver este problema?

Answer 1

Es allmost trivial si sabe el siguiente hecho de homología, en la cual puedes encontrar en cualquier texto estándar (Hatcher, por ejemplo):

Teorema. Homología de grupos homotopy invariante, es decir, si $X$ es homotópica a $Y$ $H_n(X)\cong H_n(Y)$

Así que ahora sólo necesita ver que cada conjunto convexo es contráctiles.

Lema. Deje $X$ ser un conjunto convexo, entonces $X$ es contráctiles.

Prueba. Deje $x_0$ ser un punto y definir un mapa de $F:X\times I \to X$ $F(x,t) = tx_0 + (1-t)x$ este mapa es obviamente continua y está bien definida debido a $X$ es convexa. Usted puede ver fácilmente que este nos de la homotopy entre la identidad y la función constante por lo $X$ es contráctiles.

Por el teorema anterior y el hecho de que la homología de un punto es $0$ por cada $n>0$ $\mathbb{Z}$ en la dimensión $0$ obtener su resultado.