Mostrar un operador en $L^2$ es compacto

Question

Deje que $X$ ser el complejo espacio Lebesgue $L^2(0,1)$ . Deje que $T:X\to X$ ser

$(Tf)(x)=x\int_0^1 \int_0^r f(s)\ ds\ dr-\int_0^x\int_0^r f(s)\ ds\ dr$

Demuestra que $T$ es compacto.

Dada una secuencia limitada $\{f_n\}$ en $X$ queremos mostrar $\{Tf_n\}$ tiene una subsecuente convergencia.

He demostrado que $|Tf(x)|\leq 2\lVert f \rVert$ . Por lo tanto $\lVert Tf_n \rVert \leq 2 \lVert f_n \rVert$ . Desde $\{f_n\}$ está limitada, entonces $\{Tf_n\}$ está limitada. Por lo tanto, hay una subsecuente débilmente convergente $\{Tf_{n_k}\}$ . Entonces no sé cómo pasar de una convergencia débil a una convergencia fuerte.

Answer 1

Considere $S:L^2[0,1]\to \mathbb{C}$ dado por $$ S(f) := \int_0^1\int_0^rf(s)dsdr = \int_0^1\int_0^1\chi_{[0,r]}f(s)dsdr $$ Luego $$ |S(f)| \leq \int_0^1\left| \int_0^1 \chi_{[0,r]}f(s)ds\right|dr \leq \int_0^1\|\chi_{[0,r]}\|_2\|f\|_2dr = \|f\|_2\int_0^1rdr = \frac{\|f\|_2}{2} $$ Así que $S$ es una función lineal limitada, por lo que el operador $\widetilde{S} : L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ dado por $$ \widetilde{S}(f)(x) = S(f)x $$ es un operador de rango finito, por lo tanto, compacto.

Ahora considera $V:L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ dado por $$ V(f)(x) = \int_0^x\int_0^r f(s)dsdr = \int_0^1\int_0^1k(s,r)f(s)dsdr $$ donde $$ k(x,y) = \begin{cases} 1 &: 0\leq x\leq y \\ 0 &: \text{ otherwise} \end{cases} $$ Así, $V$ es un ejemplo de un Operador de Hilbert-Schmidt y por lo tanto es compacto. Por lo tanto, $T$ es la diferencia de dos operadores compactos, que es compacta.