Mostrar que las líneas$x=-2+t,y=3+2t,z=4-t$ y$x=3-t,y=4-2t,z=t$ son paralelas. Encuentre la ecuación del plano que determinan.
Aquí, ¿cuál es el significado de "determinan"?
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Ruts
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La reescritura de las líneas en formato vectorial: $$l_1=(-2,3,4)+\lambda(1,2,-1)$$ $$l_2=(3,4,0)+\mu(-1,-2,1)$$ donde $\lambda,\mu\in\Bbb R$.
Desde $(1,2,-1)=-1\cdot(-1,-2,1)$, cualquiera de las dos líneas coinciden o son paralelas. Desde $(3,4,0)$ no se encuentran en $l_1$, son paralelos.
Para encontrar el plano que contiene a ambas líneas, tomar el vector de la conexión de sus puntos iniciales: $(3,4,0)-(-2,3,4)=(5,1,-4)$. Ahora hay que hacer el producto cruzado de este vector con cualquiera de la línea de dirección de los vectores: $(5,1,-4)×(1,2,-1)=(7,1,9)$. Esto le da el avión normal, y todo lo que queda es para calcular el escalar del plano de ecuación: $(7,1,9)\cdot(3,4,0)=25$.
Por lo tanto, el plano que contiene a ambas líneas tiene la ecuación $$\mathbf r\cdot(7,1,9)=25$$ o en forma Cartesiana $$7x+y+9z=25.$$
Ataulfo
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Para$t=0$ y$t=1$ obtenemos dos puntos en cada línea.
En$L_1$ obtenemos$(-2,3,4)$ y$(-1,5,3)$.
En$L_2$ obtenemos$(3,4,0)$ y$(2,2,1)$.
Sigue el mismo vector director,$\vec u=\vec i+2\vec j-\vec k$, para ambas líneas, lo que significa que las líneas son paralelas y obviamente distintas para determinar el plan que contiene ambas líneas.
E.H.E
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las ecuaciones paramétricas de dos líneas
Para la primera línea $$\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{-1}$$ Para la segunda línea $$\frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-0}{1}$$
multiplicar la segunda ecuación paramétrica por $(-1)$ $$\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-0}{-1}$$
los Denominadores de las ecuaciones son iguales, por lo que las dos líneas son paralelas.
la ecuación general del plano es $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$
de modo que la $A$,$B$, y $C$ son los componentes del vector normal en el avión
para encontrar el vector normal: $$\overrightarrow{v_1}=i+2j-k$$ $$\overrightarrow{v_2}=(-2-(3))i+(3-(4))j+(4-0)k$$ $$\overrightarrow{v_2}=-5i-j+4k$$ el vector normal es $$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}$$ luego comlplete la solución
Senex Ægypti Parvi
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Coeficientes de$t\text{ in first line:}\{1,2,-1\}$
Coeficientes de$t\text{ in second line:}\{-1,-2,1\}$
Estas son las dos filas superiores de un determinante de orden 3.
La tercera fila es:$\{1,1,1\}.$
El determinante
$ \ Left | \begin{array}{rrr}
1&2&-1\\
-1&-2&1\\
1&1&1
\end {array} \ right | = 0, $
Así que las dos líneas son paralelas.
Calcule dos puntos de la primera línea, digamos,
$(-2\mid 3\mid 4)\text{ and }(-3\mid 1\mid 5)$
Y un punto de la segunda, digamos,$(3\mid 4\mid 0).$
La ecuacion
$ \ Left | \begin{array}{rrrr}
x&y&z&1\\
-2&3&4&1\\
-3&1&5&1\\
3&4&0&1
\end {array} \ right | = 7x y 9z-25 = 0 $
Es la ecuación que buscas.
$7x+y+9z=25$
