¿Por qué es una imagen que se llama una "imagen"?

Question

Dada una función de $f : A \to B$, el de la imagen, que se denota por a $\operatorname{Im}f$ es el conjunto de todos los $f(x)$ donde $x \in A$. ¿Por qué llamamos a este conjunto de la imagen? Cuando fue usado primero, y lo que motivó su nombre?

Me imagino que está relacionado con la idea de que los valores de la función de mostrarnos lo que la función de "se parece a"; de lo contrario, sospecho que puede estar relacionada con el etimológico de la historia de la imagen como "imitación" o "representación" en el que las características principales de interés, los valores de una función se copian mediante el aislamiento de los valores de la función en el dominio. No estoy seguro de que, a pesar de, y no tengo fuentes.

Answer 1

El término imagen en sí misma no significa foto, como un joven que está creciendo con smartphones podría pensar.

Una imagen es una proyección. Por ejemplo, una foto, es la proyección de la luz que viene desde diversos puntos en una superficie 2d. La imaginación es el proceso de proyectar un pensamiento para el ojo de la mente (si es que tiene sentido para usted). Un espejo de la imagen es la proyección de una figura sobre un espejo.

Todo esto puede ser formulado en una sola idea, que es el sentido matemático: una imagen es la proyección de algunos de los datos más de una función.

En ese sentido, una foto, es la proyección de los fotones que llegan a una pequeña superficie sobre la función compuesta de la funcionalidad de la lente, y la sensibilidad del receptor. La imaginación es la proyección de una parte de la actividad de su cerebro en otra parte de su cerebro (donde la función en sí es bastante desconocido para los seres humanos). Un espejo de la imagen es la proyección de los fotones que llegan a la superficie a través de la f(x) = -x función!

Answer 2

Como muchos de los términos matemáticos originados por el alemán podría tener algo que ver con el hecho de que las funciones son también llamados "Abbildungen" en alemán. Esto podría ser traducido como "mapping", pero la palabra alemana "está relacionado con"Bild" (foto o imagen), y la imagen de una función se le denomina también""Bild" en alemán.

Anexo: yo debería haber sido más preciso. Hoy en día (es decir: probablemente desde el principio del siglo 20), "Funktion" y "Abbildung" casi siempre son utilizados como sinónimos. Antes de eso, "Abbildung" había más de una forma geométrica "sentir" (como en una isometría), mientras que "Funktion" (yo creo que la palabra fue introducida por Leibniz) fue utilizado para el algebraico significado (como en "$f(x)=x^2+42$").

Answer 3

La imagen de la función no es el aspecto de la función, sino más bien lo que el resultado de aplicar la función a todas las aportaciones que parece. Es sólo una pequeña fracción de lo que la función se parece. En particular, es fácil para la fabricación de infinidad de funciones diferentes que todos tienen la misma imagen. Si usted piensa en una función de $f:A\to B$ como un proceso que cuando se da la entrada de $a\in A$ da algunas de salida $f(a)\in B$, entonces la imagen te dice en qué parte de la $B$ es realmente alcanzado por la función. De manera más abstracta, si la función es un artista de la pintura objeto de dibujo de $O$ frente a ella en el lienzo $C$, entonces el artista es una función de $f:O\to C$ ya que ella toma como entrada la información de la retina emitidos por el objeto y ella responde a cada entrada de un pixel por un dibujo de un píxel de salida (obviamente, esto no es lo que realmente ocurre). La imagen de la función es la porción de la tela, que fue pintado.

Answer 4

Intuitivamente, lo que ves con tus ojos es donde sus receptores en el ojo golpeado por un rayo de luz que viene a través de su lente. Así, el patrón de sus receptores de ser golpeado ultimatively forma mental "imagen" de lo que se ve.

Tomando este pictórica a la analogía de las funciones, de la fuente (lo que perciben) es el dominio, los rayos de luz son la función, y los receptores que recibe un golpe en última instancia, forman la imagen. (En función de $f:A\to B$ de los receptores corresponden a los elementos de $B$ que "golpeado" por la función $f$.) Así que si algunos de los receptores de no obtener éxito, usted tiene algún tipo de punto ciego, no forman parte de la imagen, y en el exacto mismo es cierto en funciones: Elementos $b\in B$ tal que no es $a\in A$ $f(a)=b$ no están en la imagen.

Soy consciente de que esto es muy de la mano "ondulado", pero podría ayudarle a obtener algunos intuición para el uso del término imagen en el contexto de las funciones.