Cómo probar la regla de cadena para los límites utilizando un argumento$\varepsilon-\delta$?

Question

Me encontré con la regla de la cadena de los límites del otro día y me interesó un poco y sorprendentemente no pude encontrar la prueba en Internet en cualquier lugar. Por lo que entiendo la regla de la cadena de límites establece que si:

ps

1. ¿En qué condiciones se cumple esto?

2. ¿Cuál es la prueba epsilon-delta para la regla?

Answer 1

Reclamo: Supongamos $f$ $g$ son funciones tales que $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L_1$$\lim_{y \rightarrow L_1} g(y) = L_2$$\lim_{x \rightarrow a} g ( f(x)) = L_2$.

Prueba: Vamos a $\epsilon > 0$ y elija $\delta >0$ que si $0<|x-a|<\delta$ $|f(x)-L_1|< \delta_2$ donde $\delta_2 >0$ es lo suficientemente pequeño como para forzar $|g(y)-L_2| < \epsilon$ todos los $y \in \mathbb{R}$ tal que $0 < |y-L_1| < \delta_2$.

Podemos optar $\delta_2 > 0$ como anteriormente ya nos dieron ese $\lim_{y \rightarrow L_1} g(y) = L_2$. Además, también podemos optar $\delta >0$ a fuerza de $|f(x)-L_1| < \delta_2$ porque también nos dieron ese $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L_1$.

Supongamos que $x \in \mathbb{R}$ tal que $0 < |x-a| < \delta$ y observar que $|g(f(x))-L_2 | < \epsilon$. Por lo tanto, por la definición de límite, $\lim_{x \rightarrow a} g ( f(x)) = L_2$. $\Box$

Gracias a Vim para la corrección de comentario. Permítanme intentar una modificación de la prueba, puede ser útil para localizar el error en la lógica anterior,

Modificado Reclamo: Supongamos $f$ $g$ son funciones continuas tales que $\lim_{x \rightarrow a} f(x) =L_1$$\lim_{y \rightarrow L_1} g(y) = L_2 = g(L_1)$$\lim_{x \rightarrow a} g ( f(x)) = L_2$.

Modificada de la Prueba: Desde $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)=L_1$ se sigue que para cada una de las $\delta_2 >0$ existe $\delta>0$ tal que $0 < |x-a|< \delta$ implica $|f(x)-L_1| < \delta_2$.

Deje $\epsilon>0$ y pick $\delta_2>0$ tal que $0< |y-L_1|< \delta_2$ implica $|g(y)-L_2| < \epsilon$. Esta elección de $\delta_2$ es posible ya que estamos, dado que el $\lim_{y \rightarrow L_1} g(y) = L_2$.

Supongamos que $x \in \mathbb{R}$ tal que $0 < |x-a| < \delta$ implica $|f(x)-L_1| < \delta_2$. Así, por $y=f(x)$,$|y-L_1|< \delta_2$. Que no tienen lo que se necesita para concluir por el momento, ya que es necesario $0<|y-L_1| < \delta_2$ en orden a la conclusión de $|g(y)-L_2|=|g(f(x))-L_2 | < \epsilon$. Considerar dos casos:

1. $0=|y-L_1|$ , en cuyo caso $y=L_1$ por lo tanto $|g(L_1)-L_2| = |g(L_1)-g(L_1)| = 0 < \epsilon$
2. $0< |y-L_1|<\delta_2$ , en cuyo caso tenemos $|g(y)-L_2|=|g(f(x))-L_2 | < \epsilon$

Por lo tanto, en todos los casos posibles,$0 < |x-a| < \delta$ implica $|g(f(x))-L_2|< \epsilon$. Por lo tanto, por la definición de límite, $\lim_{x \rightarrow a} g ( f(x)) = L_2$. $\Box$

Por supuesto, también podemos afirmar este resultado se aplica a menudo: la continuidad de los exteriores de la función nos permite tirar el límite de adentro hacia afuera: $$ \lim_{x \rightarrow a} g(f(x)) = g \left( lim_{x \rightarrow a} f(x) \right)$$ donde una vez más debo destacar la continuidad de $g$ $lim_{x \rightarrow a} f(x)$ es asumido.