¿Es necesariamente abelian$2$ group?

Question

¿Es correcto lo siguiente?

Sea$n_2$ un número de elementos de$G$ de orden$2$ if$n_2> \dfrac {|G|}2$ entonces$G$ es un grupo abelian$2$.

Edit: vemos que la conclusión "si$n_p> \dfrac {|G|}p$ entonces$G$ es un grupo$p$ está equivocado" gracias a JyrkiLahtonen.

Answer 1

El producto directo de un grupo abeliano elemental de orden$2^n$ con un grupo diedro de orden$8$ tiene$3 \times 2^{n+1} - 1$ de involución, por lo que la proporción es$3/4 - 2^{-(n+3)}$.

Es un resultado conocido que si al menos$3|G|/4$ elementos son involuciones, entonces$G$ es elemental abelian. Ver Involuciones y grupos abelianos