He visto una conferencia de Alex Wilkie en el sitio web del MSRI que cubría la teoría de primer orden de los campos exponenciales. Dio un ejercicio que parece muy sorprendente. Sin embargo, debería poder resolverse en unas pocas líneas, y tiene un "truco muy bonito", como dice Wilkie.
Consideramos la estructura $\mathcal{C} = (\mathbb{C}, +, 0, 1, \cdot, \exp)$ con las interpretaciones de las normas y cuando $\exp$ se interpreta como $e^x$ . Los subconjuntos definibles en un campo algebraicamente cerrado se entienden bien y se comportan tan bien como se podría esperar, pero la adición del símbolo de la exponenciación complica considerablemente las cosas. De hecho, los enteros son definibles mediante la siguiente fórmula:
$\varphi(z) = \forall w (e^w = 1 \rightarrow e^{zw} = 1)$
por lo que Gödel nos dice que los subconjuntos definibles de $\mathcal{C}$ son irremediablemente complicados. Sin embargo, hay una conjetura de Zilber que dice que esta estructura es cuasiminimal: es decir, todo subconjunto definible es contable o cocontable.
Ahora, asumiendo esta conjetura, el siguiente hecho notable debería ser cierto. Sea $\varphi(\overline{x},y)$ sea una fórmula. Entonces el conjunto de esas $\overline{a} \in \mathbb{C}^n$ tal que la fórmula $\varphi(\overline{a}, y)$ ¡define un conjunto contable es definible! No tengo ni idea de cómo demostrar esto.
