Se puede demostrar que no negativo de las variables aleatorias $X$ $Y$ tienen la misma distribución tanto tiempo como $\mathbb{E}[X^\alpha]=\mathbb{E}[Y^\alpha]$ es finita para todas las $\alpha\in(a,b]$ cualquier $0\le a <b$.
Establecimiento $U=\log X$$V=\log Y$, definir las funciones
$$
f(\alpha)=\mathbb{E}[1_{\{X > 0\}}e^{\alpha U}],\ g(\alpha)=\mathbb{E}[1_{\{Y > 0\}}e^{\alpha V}],
$$
Estos son definidos por el complejo de $\alpha$$0 < \Re[\alpha]< b$, ya que los términos dentro de las expectativas están delimitadas por $\max(1,X^b)$ $\max(1,Y^b)$ en valor absoluto. Además, se puede observar que son complejos diferenciable en este rango. Por supuesto, son iguales para el real $\alpha$$(a,b)$. Por lo tanto, por la continuación analítica, son iguales en el dominio $0 < \Re[\alpha] < b$.
Entonces, para cualquier real $\omega$, dominado convergencia da,
\begin{align}
\mathbb{E}[1_{\{X > 0\}}e^{i\omega U}]&=\lim_{t\downarrow 0}f(t+i\omega)=\lim_{t\downarrow 0}g(t+i\omega)\\
&=\mathbb{E}[1_{\{Y > 0\}}e^{i\omega V}].
\end{align}
Tomando $\omega=0$ muestra que $X$ $Y$ tienen la misma probabilidad de ser cero. Entonces, acondicionado en $X$$Y$, respectivamente, siendo estrictamente positivo vemos que $U$ $V$ tienen las mismas funciones características. Por lo tanto, de la distribución y, por lo tanto, por lo $X$$Y$.
