Completitud y secuencias de Cauchy

Question

Me encontré con el siguiente problema sobre Secuencias de Cauchy:

Demostrar que todo espacio métrico compacto es completo.

Supongamos que $X$ es un espacio métrico compacto. Por definición, toda sucesión en $X$ tiene una subsecuencia convergente. Queremos demostrar que toda sucesión de Cauchy en $X$ es convergente en $X$ . Sea $(x_n)$ sea una secuencia arbitraria en $X$ y $(x_{n_{k}})$ una sucesión que converge a $a$ . Desde $(x_{n_{k}}) \to a$ tenemos lo siguiente: $$(\forall \epsilon >0) \ \exists N \ni m,n \geq N \implies |x_{n_{m}}-x_{n_{n}}| < \epsilon$$

Usando esto, podemos concluir que toda secuencia de Cauchy en $X$ es convergente en $X$ ? ¿O creamos subsecuencias de forma inductiva y utilizamos el criterio de Cauchy para demostrar que converge?

Answer 1

He aquí una prueba sin $\epsilon$ 's. Sea $X$ sea un espacio métrico compacto, $\hat{X}$ sea su terminación, y $i:X \rightarrow \hat{X}$ sea el mapa de inclusión. Entonces $i$ es continua y, por tanto $i(X)$ es compacto. Por lo tanto $i(X)$ está cerrado en $\hat{X}$ . Pero $i(X)$ es denso en $X.$ Por lo tanto $i(X) = \hat{X}.$ Concluimos $X$ está completo.

Answer 2

Sea $\epsilon > 0$ . Desde $(x_n)$ es Cauchy, existe $\eta_1\in \mathbb N$ tal que $$ \left\vert x_n - x_m\right\vert < \frac \epsilon 2$$ para cada par $n, m > \eta_1$ .

Desde $x_{k_n} \to a$ existe $\eta_2 \in \mathbb N$ tal que $$ \left\vert x_{k_n} - a\right\vert < \frac \epsilon 2$$ para cada $n > \eta_2$ .

Sea $\eta = \max\{\eta_1, \eta_2\}$ si $n > \eta$ entonces $k_n \ge n > \eta$ . Por lo tanto, tenemos $$ \left\vert x_n - a\right\vert \le \left\vert x_n - x_{k_n}\right\vert + \left\vert x_{k_n} - a\right\vert < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon$$

Answer 3

Creo que no dedicas suficiente tiempo a pensar qué es lo que quieres demostrar y qué es lo que has demostrado. Este es un buen ejemplo de ello.

Todo lo que escribes hasta "Usando esto..." es correcto. Pero lo único que haces es ampliar las definiciones que tienes. Me parece (y confieso que es una suposición al 100%) que en ese punto te has topado con un muro y no sabías cómo proceder, así que has decidido "saltar" directamente a la conclusión.

¿Qué intentas demostrar? Usted está tratando de demostrar que cada secuencia de Cauchy en $X$ converge. Así que toma una secuencia de Cauchy, $(x_n)$ ; quieres demostrar que esta secuencia converge. Es decir, hay que demostrar que existe un $a\in X$ tal que para todo $\epsilon\gt 0$ existe $N\gt 0$ (que puede depender de $\epsilon$ ) tal que para todo $m\geq N$ , $d(x_n,a)\lt \epsilon$ (donde $d(-,-)$ es la función de distancia de $X$ ). Haces algunas cosas que sabes que son correctas. Al final de todo esto, ¿qué has concluido? Concluiste que tienes una subsecuencia que converge.

Pero eso es todo lo que encontraste: un subsecuencia que converge. Mira las dos proposiciones; lo que hizo : $$\exists\Bigl( (x_{n_k})\text{ subsequence such that}\forall\epsilon\gt 0 \Bigl(\exists N\gt 0\bigl( \forall m,k\geq N (d(x_{n_m},x_{n_k})\lt \epsilon)\bigr)\Bigr)\Bigr);$$ y lo que se supone que debe mostrar: $$\exists a\Bigl(\forall\epsilon\gt 0\Bigl( \exists N\gt 0\bigl(\forall m\geq N (d(x_m,a)\lt \epsilon)\bigr)\Bigr)\Bigr).$$ Ahora bien: ¿se parecen en algo? ¿O equivalentes? En una sólo dices cosas sobre una subsecuencia, y ni siquiera tienes un límite para esa subsecuencia; en la otra, dices cosas sobre toda la secuencia y un límite. Creo que alguna reflexión sobria debería decirte que es improbable que las dos proposiciones sean equivalentes (al menos, no de forma obvia), así que no puedes esperar que se haga.

Ahora bien, no hay nada malo en quedarse atascado, pero tomar el punto en el que estás atascado y simplemente "saltar" a la conclusión que quieres es una receta para el desastre.

Intentemos pensar intuitivamente sobre esto; es mejor tener una idea de adónde queremos ir y cómo llegaremos allí para guiar la demostración formal, en lugar de empezar simplemente a barajar símbolos con la esperanza de que la proposición que queremos aparezca por arte de magia (no te estoy acusando de esto, pero lo veo con demasiada frecuencia en estudiantes que todavía están escribiendo pruebas a tientas).

Se trata de una sucesión de Cauchy, lo que significa que los puntos se acercan: especifique lo cerca que quiere que estén (especifique $\epsilon$ ), y a partir de cierto punto (el $N$ que depende de $\epsilon$ ), dos cualesquiera términos de la secuencia serán menores que $\epsilon$ aparte.

También sabe que existe una subsecuencia que converge a algún punto $a$ . Eso significa que hay al menos algunos términos (y puede encontrar términos de la subsecuencia tan "abajo en la línea" como quiera) que se acerquen tanto como desee a $a$ . Si tu secuencia original converge, ¿a qué tiene que converger? Dado que una secuencia converge a $L$ sólo si cada la subsecuencia converge $L$ es decir, que si la secuencia original converge, más vale que converja a lo mismo que la subsecuencia que ya hemos encontrado.

Intuitivamente, ¿qué significa decir que la secuencia converge a $a$ ? Que si especificas lo cerca que quieres que estén los términos de la secuencia, puedes encontrar un punto tras el cual (un $N\gt 0$ ) todos los términos estarán al menos tan cerca de $a$ . Usted sabe que puede hacer que los términos tan cerca unos a otros como quiera bajando lo suficiente, y sabe que puede encontrar términos tan cercanos como quiera a $a$ si se desciende lo suficiente (la subsecuencia). Eso sugiere que si te aseguras de que todos los términos son, digamos, $\epsilon/2$ próximos entre sí, y los términos de la subsecuencia son $\epsilon/2$ cerca de $a$ entonces cada plazo será $\epsilon$ -cerca de $a$ tome un término que sea suficientemente "descendente": puede encontrar un término de la subsecuencia que sea $\epsilon/2$ -y el término de la subsecuencia es $\epsilon/2$ -cerca de $a$ así que por la desigualdad del triángulo el término con el que empezaste debería ser $\epsilon$ -cerca de $a$ .

Eso tiene buena pinta; ahora se trata de escribirlo cuidadosa y matemáticamente. Esa es la idea que subyace en la respuesta de AlbertH.