Deje $C$ ser el proyectivas de cierre de $Z(f) \subset \mathbf{A}^2$ donde $f$ es un polinomio irreducible de grado 4 en $x$ y grado 2 en $y$, lo $C = Z(f^*) \subset \mathbf{P}^2$ donde $f^*$ es la homogeneización de $f$. Para un ejemplo concreto, vamos a $f = x^4y - 2x^3y^2 + 6x^3y - 6x^2y^2 - 4x^3 + 12x^2y - 4xy^2 - 12x^2 + 12xy - 8x + 4y$. (Tengo una familia de estos, todos de una forma particular.)
El uso de MAGMA me parece que esta curva tiene una nonsingular modelo de género 1:
> R<x,y,z> := ProjectiveSpace(Rationals(),2);
> C:= Curve(R, x^4*y - 2*x^3*y^2 + 6*x^3*y*z - 4*x^3*z^2 - 6*x^2*y^2*z + 12*x^2*y*z^2 - 12*x^2*z^3 - 4*x*y^2*z^2 + 12*x*y*z^3 - 8*x*z^4 + 4*y*z^4);
> Degree(C);
5
> Genus(C);
1
> P0:= C![-2,0,1];
> E, phi:=EllipticCurve(C,P0);
> E;
Elliptic Curve defined by y^2 - 4*x*y = x^3 - 11*x^2 + 12*x over Rational Field
¿Cómo se podría ir sobre la muestra esta en la mano? Sospecho que los algoritmos utilizados por el MAGMA no son prácticos para esto. Podemos demostrar que el grado de la definición de polinomio homogéneo de la nonsingular modelo es 3? En el caso del que nos llevaría a cabo después de una aplicación del género-grado fórmula $g = (d-1)(d-2)/2$.
Tenga en cuenta que no estoy pidiendo que se de una construcción de la nonsingular modelo, sólo una prueba de que el hecho de que no tiene género 1. Esto puede o puede no ser útil.
Muchas gracias de antemano.
Nota: Los puntos singulares de mi ejemplo,$C$, que yo sepa, se $[\sqrt{2} : \sqrt{2} : 1]$$[-\sqrt{2} : -\sqrt{2} : 1]$, y creo que son normales las singularidades (multiplicidad 2, dos tangentes).
Nota 2: en Realidad, $[0 : 1 : 0]$ también es un punto singular, pero no sé de qué tipo. Si que es normal con multiplicidad 3, a continuación, se realiza por la generalización de género-grado fórmula discutido en los comentarios de abajo. Pero, ¿cómo puedo demostrar que estas son todas las singularidades?
