Problema Integral de William Lowell Putnam

Question

Probar que $$ \ frac {22} {7} - \ pi = \ int_ {0} ^ {1} \ frac {x ^ {4} \ left {1 - x \ right) ^ {4}} {1 X ^ {2}} \, {\ rm d} x $$

Answer 1

Literalmente, todo lo que tienes que hacer es ampliar, dividir, y de integrar.

$$ x^4(1-x)^4 = x^8 - 4x^7 + 6x^6 - 4x^5 + x^4 $$ Ahora uso la división larga: $$ x^4(1-x)^4 = x^6(x^2+1)- 4x^5(x^2+1) + 5x^4(x^2 + 1) - 4x^2(x^2+1)+4(x^2+1) -4 \\ \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} = (x^6 -4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4) - \frac{4}{x^2+1} \\ $$ Integramos esta: $$ \int_0^1 \! (x^6 -4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4) \,\mathrm{d}x \int_0^1 \! \frac{4}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\ = \frac{22}{7} - 4(\arctan(1) - \arctan(0)) \\ = \frac{22}{7} - \pi $$

Answer 2

Intenté de esta manera:

$$ \frac{x^4\,\left(1-x\right)^4}{1+x^2}=\frac{\left(x^4-1+1\right)\,\left(1-x\right)^4}{1+x^2}=\frac{\left(x^4-1\right)\,\left(1-x\right)^4}{1+x^2}+\frac{\left(1-x\right)^4}{1+x^2}\\=\left(x^2-1\right)\left(1-x\right)^4+\frac{\left(1-x\right)^4}{1+x^2}\\=\left(x+1\right)\left(x-1\right)^5+\frac{\left(1-x\right)^4}{1+x^2}\\=\left(x-1\right)^6+2\left(x-1\right)^5+\frac{\left(1-x\right)^4}{1+x^2}$ $ Los primeros dos términos son directos para integrar.

ps

¿Puede alguien sugerir maneras alternativas de hormigas para hacer este problema ..

Answer 3

ps

Ahora,

ps

Similar,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Mientras tanto,

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

El resultado es, sumando todos los números anteriores,

ps

Answer 4

$\bf{My\; Solution::}$ Let$$\displaystyle I = \int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\;,$$ Let $ \ displaystyle x = \ tan \ phi \;,$ Then $ dx = \ sec ^ 2 \ phi.

Y Cambiando Límite, Conseguimos$$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^4 \phi\cdot \left(1-\tan \phi\right)^4d\phi.$ $

ps

ps

ps

Ahora vamos $$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^4 \phi \cdot \left(1-4\tan \phi+6\tan^2 \phi-4\tan^3 \phi+\tan^4 \phi\right).$ $$\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left\{\tan^4 \phi-4\tan^5 \phi+6\tan^6 \phi-4\tan^7 \phi+\tan^8 \phi \right\}d\phi.$

Ahora%

Ahora en$$\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left\{\left[\tan^4 \phi+\tan^6 \phi \right]-4\left[\tan^5 \phi \cdot \sec^2 \phi \right]+\left[\tan^6 \phi+\tan^8 \phi \right]+4\tan^6 \phi \right\}d\phi.................(\star)\color{\red}\checkmark.$ obtendremos$$\displaystyle J_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n}\phi d\phi\;,$ Then$ Then $ y$\displaystyle J_{n+2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n+2}\phi d\phi$ Cuando$$\displaystyle J_{n+2}+J_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n} \phi \cdot \sec^2 \phi d\phi = \frac{1}{n+1}\Rightarrow J_{n+2}+J_{n} = \frac{1}{n+1}............(\star \star)\color{\red}\checkmark.$

Y cuando$n=0\;,$ obtenemos$\displaystyle J_{0} = \frac{\pi}{4}\;,$ y obtenemos$\displaystyle J_{2} = \left(1-\frac{\pi}{4}\right)$ Y$\displaystyle $

Ahora ponga estos valores en$ n= 2\;,$

ps