$n+1$ Puntos en$\mathbb{R}^n$ con distancias racionales pairwise son linealmente dependientes

Question

Deje $v_0$ ser el vector cero en $\mathbb{R}^n$ y deje $v_1, v_2, . . . , v_{n+1}$ ser vectores en $\mathbb{R}^n$ de manera tal que la norma Euclídea $|v_i − v_j|$ es racional para cada $0 ≤ i, j ≤ n + 1$. Demostrar que $v_1, . . . , v_{n+1}$ son linealmente dependientes sobre los racionales.

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Estaba leyendo un ingenioso prueba de este resultado, un esbozo de lo que os presentamos a continuación:

1. "pasando a un subespacio", podemos suponer que la $v_1,...,v_n$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$

2. desde $v_1,...,v_{n+1}$ es una familia de $n+1$ vectores en el $n$- dimmensional espacio de $\mathbb{R}^n$ (se considera por encima del campo de $\mathbb{R}$), que son linealmente dependientes sobre $\mathbb{R}$. Por lo tanto escribir $v_{n+1}=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k$. El objetivo es mostrar que la $\lambda_k$ es racional.

3. por el parrallelogram la desigualdad, todos los productos escalares $<v_i,v_j>$ son racionales. De ahí el Grammian matriz $G$ $v_1,..,v_n$ tiene todas las entradas racional. Además, desde el $v_1,...,v_n$ son linealmente independientes, $G$ es invertible (conocida propiedad de la Grammian)

4. Deje $w$ denota el vector columna de tamaño de $n$ con coordinar $k$$<v_{n+1},v_k>$. Deje $\lambda$ denota el vector columna de tamaño de $n$ con coordinar $k$$\lambda_k$. Luego tenemos a $w=G\lambda$.

5. A partir de lo anterior, $\lambda=G^{-1}w$ que es un producto de matrices con rational entradas, así racional de la matriz. hecho.

El único paso que no entiendo es el paso 1. ¿Por qué tenemos derecho a asumir la $v_1,...,v_n$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{R}$, y que el subespacio estamos "de paso"?

Answer 1

Si$v_1, \dots v_n$ es linealmente dependiente, entonces en lugar de trabajar en$\mathbb{R}^n$ podemos trabajar en$\text{span}(v_1, \dots v_n)$, que es un cierto espacio de producto interno real de la dimensión$\le n-1$. Así que podemos argumentar por inducción en$n$: si ya hemos probado el resultado para espacios de producto interno de la dimensión$\le n-1$, entonces podemos aplicarlo a$v_1, \dots v_n$. Por supuesto que sería bueno ser más explícito sobre el caso base aquí.