Es igual a

Question

Algunos de mis maestros de matemáticas dijeron que$i=\sqrt{-1}$ es la definición incorrecta para$i$ y que la definición correcta es$i^2=-1$. Si la segunda definición es verdadera, entonces significa$\sqrt{-1}= ±i$? ¿Cuál de las dos definiciones es verdadera?

Answer 1

Desde una perspectiva algebraica, $\Bbb{C}$ es el campo de la $\Bbb{R}[x]/(x^2+1)$ cual es el campo que se obtiene por contigua a $\Bbb{R}$ las raíces de $x^2 + 1$ y todas las combinaciones lineales de la forma $a+ib$ donde $a, b \in \Bbb{R}$. Usted realmente necesita para agregar sólo una de ellas (la denominamos $i$), debido a que el otro es $0 + i(-1)$. Observe que no importa que nos elija como $i$: si tengo que elegir uno y eligió el otro, nunca le aviso que hemos tomado decisiones diferentes.

De hecho, el grupo de Galois (automorfismos preservar el campo original, por lo tanto la fijación $\Bbb{R}$ en este caso) de $\Bbb{C}$ tiene exactamente dos automorfismos: la identidad, el envío de $i$ a sí mismo, y la conjugación, el envío de $i$ a su opuesto. Por definición, los automorfismos de preservar la estructura, lo que confirma la elección de $i$ realmente no importa.

Answer 2

El símbolo de raíz cuadrada no tiene sentido cuando se aplica a un número negativo. Por supuesto, la gente a menudo lo escribe de esa manera por conveniencia. $i$ Se define mediante la ecuación$i^2=-1$. Sí, si hay un campo que contiene una raíz de$x^2+1$ entonces si$i$ es una raíz así que es$-i$. Cuando definimos un campo como$\mathbb C$ estamos eligiendo implícitamente una raíz de$x^2+1$.

Answer 3

$\sqrt{\cdot}$ Se ve en la mayoría de los casos como una función en$[0,\infty)$, por lo que tiene un valor único asociado a cada real no negativo. En esta tradición definimos generalmente$i:=\sqrt{-1}$, que se puede considerar informalmente como una especie de extensión a la función de raíz cuadrada clásica.

De hecho, podemos extender la definición de la raíz cuadrada a cualquier número complejo, estableciéndolo como el valor principal de$\sqrt z:=e^{1/2\ln z}$ con el mismo resultado.

Sin embargo es cierto que$(-i)^2=-1$.

Answer 4

$\sqrt{-1}$ Se denomina$i$ y$i$ es una solución de la ecuación algebraica$x^2+1=0$. Es por eso que $i^2=-1$.

Se podría definir$i=-\sqrt{-1}$ y usando esta notación podría construir el análisis Complejo. Eso depende de él.