¿Las isometrías envían líneas a las líneas?

Question

Mi pregunta es si alguna isometría $f:V\to W$ entre espacios reales normados envía líneas a líneas. He visto varias preguntas/respuestas sobre esto pero sólo en espacios euclidianos.

Así que pensé que era falso en los espacios normados generales (reales). Sin embargo, encontré este teorema de Mazur-Ulam: cualquier isometría sobreyectiva $f:V\to W$ es un mapa afín, por lo que mapea líneas a líneas.

Pero si mi isometría no es sobreyectiva, ¿seguiría siendo así? Creo que considerando el espacio imagen $f(V)$ sería lo mismo, porque $f:V\to f(V)$ es afín y cualquier línea $L$ se enviaría a una línea $f(L)$ en $f(V)$ que también es una línea en $W$ .

¿Es esto correcto?

Gracias.

Answer 1

No, esto no es correcto, porque $f(V)$ no tiene que ser un espacio vectorial.

Consideremos, por ejemplo, la norma $\bigl\|(x,y)\bigr\|=\max\{|x|,|y|\}$ en $\mathbb{R}^2$ y la norma habitual en $\mathbb R$ . Ahora, considere el mapa $$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&\bigl(x,\sin(x)\bigr).\end{array}$$ Entonces $f$ es una isometría, pero no es afín y no convierte las líneas en líneas.

Por supuesto, la única propiedad importante de la función seno es que $(\forall x\in\mathbb{R}):|\sin x|\leqslant|x|$ . Incluso podría haber utilizado una función que fuera discontinua en todas partes, como por ejemplo $\chi_{\mathbb Q}$ .