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Question

Que $K$ un campo y $x$ trnacendental $K$. Calcular el $[K(x):K(\frac{x^5}{1+x})]$.

Nunca he vino a través de preguntas como estas. ¿Es fácil ver que este grado es más $5$, desde: $$x^5-\alpha(x+1)=0$$ ($\alpha$ being $\frac{x^5}{1+x}$). But how can I show the other direction? Why can't there be any $f\in K(\alpha) [X] $ with $\deg f < 5 $ and $f (x) = 0$? ¿O puede haber?

Ayuda sería appriciated. ¡Gracias!

Answer 1

Sólo tenemos que demostrar que el polinomio $x^5-\alpha x - \alpha$ es irreducible sobre $K(\alpha)[x]$. Tenga en cuenta que el polinomio es primitivo, por lo que es suficiente para mostrar que es irreducible sobre $K[\alpha][x]$.

Utilizamos la idea de Eisenstein criterio, vamos a $\varphi:K[\alpha]\to K$ ser la evaluación mapa enviar a $\alpha \mapsto 0$. Extender esta homomorphism para obtener $\pi: K[\alpha][x]\to K[x]$. Si $x^5-\alpha x -\alpha = fg$, con $f,g \in K[\alpha][x]$, $f,g$ la no unidad. Entonces $$\pi(f)\pi(g) = x^5$$ Tenga en cuenta que $\ker \pi = (\alpha)$, el ideal generado por a $\alpha$.

Desde $K[x]$ es un UFD, $f = x^r + \alpha f_0, g = x^{5-r} + \alpha g_0$ donde $f_0,g_0\in K[\alpha][x]$. Pero esto implica que el término constante de $fg$ es un múltiplo de a $\alpha^2$. Por lo tanto $x^5-\alpha x -\alpha$ es irreducible sobre $K[\alpha][x]$.

Answer 2

Lo que tienes que hacer es mostrar que $f(X)=X^5-\alpha(X+1)$ es irreducible sobre $K(\alpha)$ y listo.

Esto es debido a que tendríamos $[K(\alpha)(x):K(x)][K(x):K(\alpha)] = [K(\alpha)(x):K(\alpha)] = 5$ $K(x)\neq K(\alpha)$ implicaría $[K(x):K(\alpha)]=5$ $5$ prime.

Ahora, $f$ es primitivo polinomio en $K[\alpha][X]$, así que por Gauss, lema, es irreducible sobre $K(\alpha)$ si y sólo si es irreducible sobre $K[\alpha]$.

Primero de todo, $f$ no puede tener una raíz en $K[\alpha]$, ya que significaría que $$p(\alpha)^5-\alpha(p(\alpha)+1)=0$$ and that $\alfa$ is algebraic over $K$.

Por lo tanto, si $f$ no eran irreductibles, se tendría que permitir la factorización de la forma

$$f(X) = (X^3 +a(\alpha)X^2+b(\alpha)X+c(\alpha))(X^2+d(\alpha)X+e(\alpha))$ $ , que llevaría a sistema

\begin{align} a(\alpha)+d(\alpha)&=0\\ b(\alpha)+a(\alpha)d(\alpha)+e(\alpha)&= 0\\ c(\alpha)+b(\alpha)d(\alpha)+a(\alpha)e(\alpha) &= 0\\ c(\alpha)d(\alpha)+b(\alpha)e(\alpha)&= -\alpha\\ c(\alpha)e(\alpha)&=-\alpha \end{align}

y ahora usted puede utilizar ese $K[X]\cong K[\alpha]$ desde $\alpha$ es transcedental y el grado argumentos para demostrar que el sistema anterior es imposible de resolver en $K[X]$.