k es un campo, G es un grupo finito y V es una representación irreducible dimensional finita de G sobre k, entonces $End_GV$ es un anillo de división dimensional finita sobre k por lema de Schur.
¿Cada anillo de división dimensional finita sobre k obtendrá de esta manera?
Buena pregunta! La respuesta es no.
Digamos que la característica de $k$ no divide $G$, por lo que el $k[G]$ es separable. Recordemos que una división de campo de un separables álgebra $A$ $k$ es una extensión de campo $L$ $k$ tal que $A \otimes_k L$ es isomorfo a un producto de la matriz de álgebras de más de $L$. Una división de campo de un grupo finito $G$ $k$ es una división de campo de la $k[G]$.
Es conocido que los grupos finitos han abelian la división de los campos; más precisamente, $k[G]$ siempre se puede dividir por todos los colindantes $|G|$-th raíces de la unidad a $k$. (Esto es debido a Brauer, al menos en el carácter $0$.) Pero no todos los de la división de álgebras de más de $k$ tienen esta propiedad; en particular, nonabelian extensiones de Galois de $k$ no. Para aquellos que no pueden ocurrir en $k[G]$, y por lo tanto no puede ocurrir como endomorfismo anillos de $G$-representaciones sobre $k$.
Edit: Divisibilidad es otra restricción; si $k$ ha característica positiva, entonces inseparable de la extensión de $k$ no puede ocurrir.
Para hacer de Jeremy Rickard hábil respuesta concreta, con un ejemplo concreto, vamos a $k_0$ ser cualquier campo y deje $k$ ser obtenida a partir de a $k_0$ colindando una cantidad no numerable de trascendental de los elementos $x_i$. A continuación, $k$ tiene una cantidad no numerable de diferentes campo finito extensiones: por ejemplo, para cada una de las linderas trascendental de los elementos, puede lindan con una raíz cuadrada. En la mayoría de los countably muchos diferentes división de los anillos puede venir de representaciones de grupos finitos, por lo que todos pero countably muchas de estas extensiones de campo no debe.
De hecho, más fuerte, podemos deducir fácilmente que cualquier finito de extensión que se "supone" ninguna de las $x_i$ no puede venir de una representación de un grupo finito. Más precisamente, supongamos $L$ es una extensión finita de $k$ que contiene un elemento cuyo mínimo polinomio no tiene coeficientes en $k_0$. A continuación, el mínimo polinomios de elementos de $L$ incluye sólo un número finito de la $x_i$, y por tanto, hay una cantidad no numerable de permutaciones de las $x_i$ que dan diferentes campo finito extensiones de $k$. Pero por simetría (desde la aplicación de una permutación de las $x_i$ da un isomorfismo de toda la instalación a través de $k_0$), si una de estas extensiones se trata de una representación de un grupo finito, todos lo hacen. Ya que hay una cantidad no numerable de ellos, esto significa que ninguno de ellos lo hacen.
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