$\textbf Z[\sqrt{pq}]$ no es una UFD si $\left( \frac{q}p \right) = -1$ y $p \equiv 1 \pmod 4$.

Question

Que $p$ y $q$ ser números primos tales que $p \equiv 1 \pmod 4$ y $\left( \frac q p \right) = -1$. Muestran que $\textbf Z[\sqrt {pq}]$ no es una UFD.

He probado algunos ejemplos como $p=5$ y $q = 2$. Pero no tengo ninguna pista sobre el caso general. ¿Cualquier sugerencia?

Answer 1

Si $$\left(\frac{q}{p}\right) = -1,$$ that means that $q$ is not a quadratic residue modulo $p$. That much is obvious, right? It also means that $p$ is not a quadratic residue modulo $pq$. Por lo tanto, en tu ejemplo, ya que 2 no es un residuo cuadrático módulo 5, no puede ser un residuo modulo 10, y por lo tanto es irreducible.

Desde $q$ es irreductible, no es divisible por $\sqrt{pq}$. Así llegamos a la conclusión de que $pq$ tiene dos distintas factorizations en $\mathbb Z[\sqrt{pq}]$: $$(\sqrt{pq})^2 = pq.$$

Bueno, eso podría un poco mal si $p$ puede ser roto, pero $q$ no puede. Para presentar esta respuesta en primer lugar, yo no lo he hecho reflexionó sobre la importancia de la reciprocidad cuadrática a su pregunta.

Answer 2

Es esto de un libro de texto? Si es así, yo apostaría a que los créditos de frijoles que ellos quieren que usted utilice la reciprocidad cuadrática.

Supongamos $q \equiv 1 \pmod 4$. Luego tenemos a $$\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right) = -1.$$

Podríamos invocar cualquiera de las $-p$ o $-q$, pero desde la unidad fundamental de la $\eta$ $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{pq})}$ norma $-1$ (Teorema $11.5.7$ en el), si existe algún número $x \in \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{pq})}$ tal que $N(x) = -p$ o $-q$, $N(\eta x) = p$ o $q$, contradiciendo nuestro símbolo de Legendre cálculos.

Llegamos a la conclusión de que $p$ $q$ son tanto irreductible. Pero, a continuación,$p \mid (\sqrt{pq})^2$, $q \mid (\sqrt{pq})^2$, sin embargo,$p \nmid \sqrt{pq}$, $q \nmid \sqrt{pq}$. Por lo tanto, $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{pq})}$ no UFD.

Espero que esto sea suficiente de una pista para averiguar el caso de $q \equiv 3 \pmod 4$.

Answer 3

Deje $N$ denotar la costumbre de la norma, es decir, $N(x+\sqrt{pq}y) = (x+\sqrt{pq}y)(x-\sqrt{pq}y) = x^2-pqy^2$.

La hipótesis es que el$\left( \frac{-1}{p} \right) = 1$$\left( \frac{q}{p} \right) = -1$, o, equivalentemente, que $\left( \frac{\pm q}{p} \right) = -1$, o, equivalentemente, que $x^2\equiv q\pmod{p}$ $x^2\equiv -q\pmod{p}$ no tienen solución en los números enteros.

Si $\alpha = x+\sqrt{pq}y\in\mathbb Z[\sqrt{pq}]$,$N(\alpha)\equiv x^2 \pmod{p}$, por lo que la hipótesis implica que ni $q$ ni $-q$ es una norma de un elemento. Por lo tanto $N(q) = q^2$ $N(\sqrt{pq}) = -pq$ no son expresables como producto de dos nonunit norma de elementos. Esto demuestra que $q$ y $u:=\sqrt{pq}$ son elementos irreductibles de $\mathbb Z[\sqrt{pq}]$. Desde $u\cdot u = p\cdot q$, si $\mathbb Z[\sqrt{pq}]$ fueron una UFD nos gustaría tener ese $u, p$ $q$ son todos asociar los números primos. Pero esto no es así, porque sus normas son no asociar números enteros.