Intersección de una subvariedad con una bola pequeña

Question

Deje $M$ ser incrustado $k$-submanifold de $\mathbf R^n$ $p$ ser un punto en $M$. Para $\epsilon>0$, vamos a $S_\epsilon(p)$ denotar la esfera en la $\mathbf R^n$ radio $\epsilon$ tener su centro en $p$. Por lo $S_\epsilon(p)$ es en sí mismo un embedded $(n-1)$-submanifold de $\mathbf R^n$.

Es el verdadero?

Para $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, $S_\epsilon(p)\cap M$ es diffeomorphic a una esfera de dimensión $k-1$.

Intuitivamente, cerca de $p$ el colector $M$ se parece a un televisor $k$-plano, y la intersección $S_\epsilon(p)$ $k$- plano que pasa a través de $p$ se obtiene un $(k-1)$-esfera.

La razón por la que pregunto esto es la siguiente: En la página 17 de Milnor de Puntos Singulares de Complejo Hypersurfaces, el autor afirma lo siguiente (Corolario 2.9).

(No exacta de la cita) Deje $V$ ser un verdadero conjunto algebraico y $x^0$ que no sea un punto singular en $V$. Cada suficientemente pequeña esfera, $S_\epsilon$ centrada en $x^0$ intersecta $V$ en un suave colector.

Desde el conjunto de puntos singulares forman un conjunto cerrado, tomamos nota de que una lo suficientemente pequeña esfera centrada en $x^0$ no contiene ningún punto singular de $V$. Es que ya se dice en el libro que el conjunto de no-singular puntos de un conjunto algebraico forma de un colector, cada uno de cuyos componentes tengan la misma dimensión (Ver Teorema 2.3). Milnor no utiliza la calificación de 'incrustado' para un colector. Pero después de leer la referencia Milnor ha dado para la prueba del Teorema 2.3, estoy convencido de que el conjunto de no-puntos singulares formulario incrustado submanifold del espacio ambiente. Además, la prueba de Milnor ha dado hace uso de la expresión algebraica de la naturaleza de la $V$.

Así que en el anterior Milnor es afirmar algo aún más débil de lo que yo estoy intuitivamente la búsqueda de la verdadera en más de configuración general. O puede ser que me haya perdido algún punto sutil.

Answer 1

La respuesta es VERDADERA. Podemos probar este hecho, hacer uso de los siguientes dos lemas. Deje $M$ ser incrustado $k$-submanifold de $\mathbb{R}^n$ $p$ ser un punto en $M$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $p=0$. Deje $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ denotar una función uniforme definido por $f(x):=x_1^2+\cdots+x_n^2$.

Lema 1: La función de restricción de $f|_M:M\to\mathbb{R}$ ha $p$ como un no-degenerada punto crítico.

Prueba: es claro que $p$ es un punto crítico de $f|_M$. Desde $M$ es un submanifold en $\mathbb{R}^n$, existen un local de coordenadas $(u_1,\ldots,u_n)$ $p$ tal que $M$ corresponde al conjunto de $u_{k+1}=\cdots=u_n=0$. Debido a $f$'s de la matriz Hessiana es positiva definida, así es $f|_M$'s. Esto completa la prueba.

Lema 2: Deje $X$ ser un liso $n$-dimensiones del colector, y $Y$ $k$- submanifold de $X$. Supongamos que una función suave $f:X\to\mathbb{R}$ $p\in Y$ como un no-degenerada punto crítico, y $f|_Y:Y\to\mathbb{R}$ $p$ como un no-degenerada punto crítico, demasiado. Entonces, existe un local de coordenadas $(x_1,\ldots,x_n)$ $p$ tales que (1) $f(x_1,\ldots,x_n)=f(p)\pm x_1^2\pm\cdots\pm x_n^2$ y (2) $Y$ corresponde al conjunto de $x_{k+1}=\cdots=x_n=0$.

Prueba: Analogía de la norma de la prueba de Morse del lexema.

Ahora podemos probar la declaración. Usando el Lema 1 y el Lema 2, tenemos un local de coordenadas $(x_1,\ldots,x_n)$ $p$ tal que $f(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2$ $M$ está representado por $x_{k+1}=\ldots=x_n=0$. Tomando $\varepsilon>0$ pequeños, podemos suponer que la $S_\varepsilon(p)\cap M = f^{-1}(\varepsilon^2)\cap M$ está incluido en el local de coordenadas del gráfico. Entonces tenemos

\begin{equation} S_\varepsilon(p)\cap M = \{(x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0)\ |\ x_1^2+\ldots+x_k^2=\varepsilon^2\} \end{equation} que es diffeomorphic a una esfera de dimensión $k−1$.