Integrar un formulario dos en la esfera

Question

$$ \int_S x\, dy\, dz + y\, dz\, dx + z\, dx\, dy, $$ where $S=\ {(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1\}. $

Por favor, no sé cómo proceder. ¡Estaré agradecido que si me das alguna sugerencia, al principio pensé que era una aplicación del teorema de Stokes, pero las diferencias me confunden gracias D:!

Answer 1

La forma más rápida de hacerlo es mediante el uso de la Gauss-Ostrogradski teorema (que es sólo otro nombre para Stokes' teorema de la $\Bbb R^3$ - usted ha adivinado correctamente que esto conduciría a la solución): si $V$ es un 3-dimensional de la región, luego

$$\int \limits _{\partial V} P \ \Bbb dy \Bbb dz + Q \ \Bbb dz \Bbb dx + R \ \Bbb dx \Bbb dy = \int \limits _V \left( \frac {\partial P} {\partial x} + \frac {\partial Q} {\partial y} + \frac {\partial R} {\partial z} \right) \Bbb d x \Bbb d y \Bbb d z .$$

Concretamente, si $B = \{ (x,y,z) \in \Bbb R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1\}$, $S = \partial B$ y

$$\int \limits _S x \ \Bbb dy \Bbb dz + y \ \Bbb dz\Bbb dx + z \ \Bbb dx \Bbb dy = \int \limits _B \left( \frac {\partial x} {\partial x} + \frac {\partial y} {\partial y} + \frac {\partial z} {\partial z} \right) \Bbb d x \Bbb d y \Bbb d z = 3 \text{vol } (B) = 4 \pi .$$

Por supuesto, también se puede hacer utilizando la definición de la superficie de las integrales del segundo tipo, pero esto requeriría el uso de un parametrización, para calcular los coeficientes de la métrica y de la fórmula del exterior de la unidad normal en esta parametrización y, finalmente, realizar una integral, que es demasiado largo y tedioso.

Answer 2

Si interpretamos la integral en el OP como ordinaria de la superficie de la integral, entonces

$$\begin{align} 3 \int_S z\,dx\,dy &=3\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy+3\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\left(-\sqrt{1-x^2-y^2}\right)\,dx\,dy\\\\ &=0 \end{align}$$

donde se explota la simetría señalar que $\int_S x\,dy\,dz=\int_S y\,dz\,dx=\int_S z\,dx\,dy$.

Y hemos terminado!

---

Sin embargo, si interpretamos la integral en el OP para ser equivalente a la superficie cerrada integral se expresa como

$$\int_S x\,dy\wedge dz+y\,dz \wedge dx+z\,dx \wedge dy=\oint_S \vec r\cdot \hat n\,dS \tag 1$$

luego podemos aplicar el Teorema de la Divergencia para el lado derecho de la $(1)$ a revelar

$$\begin{align} \oint_S \vec r\cdot \hat n\,dS &=\int_V \nabla \cdot \vec r\,dV\\\\ &=\int_V 3\,dV\\\\ &=3\frac{4\pi}{3}\\\\ &=4\pi \end{align}$$

Alternativamente, se puede evaluar la integral de superficie directamente como

$$\begin{align} 3\oint_S z\,n_z\,dS&=3\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy\\\\ &+3\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\left(- \sqrt{1-x^2-y^2}\right)\,(-1)\,dx\,dy\\\\ &=6 \int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1-\rho^2}\,d\rho\,d\phi\\\\ &=4\pi \end{align}$$

como se esperaba!

Answer 3

$\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{n}}$A complementar la buena respuesta: En la notación clásica, con $dS$ denota el elemento área de la unidad de la esfera y de $\Vec{n}$ el exterior de la unidad de campo normal, su integral representa el flujo a través de la unidad de la esfera del campo de vectores $$ F(x, y, z) = (x, y, z). $$ Esto puede ser calculado directamente por señalar que en la unidad de la esfera, $$ F \cdot \Vec{n} = (x, y, z) \cdot (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, $$ por lo que el flujo de $F$ es $$ \iint_{S} F \cdot \Vec{n}\, dS = \iint_{S} dS = \text{área de $S$} = 4\pi. $$