Teorema de unicidad para la función armónica

Question

¿Hasta ahora en los libros de análisis complejo he estudiado sobre el teorema de unicidad: si es analítica en un dominio $f$ $D$ y su conjunto de ceros tiene un punto límite en $D$ $f\equiv 0$ $D$, yo quiero saber es este resultado para funciones armónicas?

Answer 1

Sí, ya que es una consecuencia directa del principio de máxima, que también sostiene para las funciones armónicas.

Edit: me parece que han malinterpretado la pregunta. Este teorema de la unicidad no parece seguir. (Hay unicidad, por supuesto, cuando se especifican las condiciones de contorno).

Answer 2

$u$ Es armónica en $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, ($n > 1$) y que $Z = \{ x : u(x) = 0 \}$. (Dejo el caso unidimensional como ejercicio; $n=1$ armónico es igual a afín.)

Si $Z$ contiene un conjunto abierto, $Z = \Omega$, así que en este sentido el teorema de la unicidad sostiene. Sin embargo, $Z$ muy bien puede tener puntos de límite (contrario al caso de funciones holomorphic) sin $Z = \Omega$. Un ejemplo muy simple sería $u(x, y) = x$. (Con una generalización obvia de dimensión superior.)

Answer 3

No creo que este problema es cierto en absoluto.

La parte real o imaginaria de una función analítica es siempre una función armónica.

$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}:z\mapsto z$ es una función analítica así $g:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R}:(x,y) \mapsto \operatorname{Im}(g(x+iy))=y$ es una función armónica. $g(x,y)=0$ para cada punto de la línea real (puntos $y=0$). Pero $g$ no el cero función en cualquier subconjunto abierto del plano complejo (incluyendo el disco de la unidad).

Tienes que odiar las funciones armónicas.