Distribución del cociente de dos variables aleatorias gamma con diferentes parámetros de tasa?

Question

Tengo una pregunta sobre cómo derivar la distribución del cociente de dos variables gamma aleatorias extraídas de dos distribuciones Gamma diferentes con la misma forma, pero tasas diferentes. Por ejemplo, dado $$ \theta \sim \frac{1}{Gamma(a, c_1)} \\ \tau \sim \frac{1}{Gamma(b, c_2)} $$ ¿Cómo encuentro la distribución de lo siguiente? $$ M = \frac{\tau}{\sigma + \tau} $$

He visto en línea que sería $$M \sim \frac{1}{Beta(a+b,c)}$$ si $c_1 = c_2$. ¿Pero qué pasa si $c_1 \neq c_2$?

Answer 1

Si $X \sim Gamma(a,1)$ es independiente de $Y \sim Gamma(b,1)$ entonces la razón $X/Y$ tiene la distribución Beta prime con parámetros $a$ y $b.

De hecho, el resultado también se cumple si se reemplaza el valor común del parámetro de tasa ($1$ aquí) por cualquier otro valor, porque el parámetro de tasa tiene esta propiedad: si $X \sim Gamma(a,S)$, entonces $\lambda \times X \sim Gamma(a, S/\lambda)$ para cualquier $\lambda >0$.

Así, si $X' \sim Gamma(a,c_1)$ es independiente de $Y' \sim Gamma(b,c_2)$, entonces la razón $X'/Y'$ tiene la misma distribución que $\frac{c_2}{c_1} \times X/Y$ donde $X \sim Gamma(a,1)$ es independiente de $Y \sim Gamma(b,1). Por lo tanto, denotando por $f$ la función de densidad de la distribución Beta prime, entonces la función de densidad de $X'/Y'$ es $r \mapsto \frac{c_1}{c_2} f(\frac{c_1}{c_2} r)$. Esta distribución Beta prime escalada no tiene un nombre dedicado.