encontrar la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{1}{n}$

Question

Mi objetivo es resolver esta serie $$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{1}{n}$$

Hice tomó la derivada primera w.r.t $x$

$$S'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!}$$

que me formulado para ser $$ S'(x) = \frac{e^x}{x} - \frac{1}{x} $$

Por lo tanto, la aplicación de la antiderivada

$$ \int \frac{e^x}{x} dx - \ln(x) $$ (No me he a $c$ intencionalmente)

He buscado esta integral $ \int \frac{e^x}{x} \, dx $ y he encontrado que hay una función especial llamada la integral exponencial $$\mathrm{Ei}(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} dt$$

Estoy cuestionando la viabilidad para resolver este balance en términos de la $Ei$. Estoy teniendo un problema con respecto a la noción de puente entre las integrales definidas y simbólico antiderivatives ?

EDITADO:

Hay algo vino a mi mente, lo que si voy a aplicar esto de la integral definida en $S'(x)$ $$ \int_1^{x} S'(t) dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} dt - \int_{-\infty}^1 \frac{e^t}{t} dt - \ln(x) + \ln(1) $$ a continuación, $$ S(x) - S(1) =\mathrm{Ei}(x) - \mathrm{Ei}(1) - \ln(x) $$

los que requiere encontrar el $S(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!\,n}$

Answer 1

$S(x)$ es una función entera, no tiene ninguna singularidad logarítmica:

$$ S(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n\cdot n!}=\int_{0}^{x}\frac{e^t-1}{t}\,dt \tag{1}$ $ también desde $\frac{e^t-1}{t}$ es una función entera. El RHS de $(1)$ claramente depende de la integral exponencial y claramente no es una función elemental.