Descripción categórica de estructuras algebraicas

Question

Existe una conocida descripción de un grupo como "una categoría con un objeto en la que todos los morfismos son invertibles". Según tengo entendido, el Lemma de Yoneda aplicado a una categoría de este tipo es simplemente un enunciado del Teorema de Cayley según el cual todo grupo G es isomorfo a un subconjunto del grupo simétrico sobre G (véase el inciso al final de este post... Todavía estoy un poco confundido al respecto).

Suponiendo que en el futuro lo tenga claro, ¿existen descripciones categóricas similares de otros objetos algebraicos, como anillos, campos, módulos o espacios vectoriales? Si es así, ¿qué nos dice el lema de Yoneda sobre la representabilidad (o no) de esos objetos?

En particular, ¿existen caracterizaciones "agradables" de otros objetos algebraicos que correspondan a la caracterización de un grupo derivada del Teorema de Cayley como "subgrupos de Sym(X) para algún X"?

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Aparte de (intentar) trabajar en los detalles de esto: Si $C$ es una categoría con un objeto $G$ entonces $h^G=\mathrm{Hom}(G,-)$ corresponde a la acción regular de $G$ sobre sí mismo (se necesita $G$ a sí mismo y toma el elemento del grupo $f$ al homomorfismo $h_f(g)=f\circ g$ ). Cualquier functor $F:C\to\mathbf{Set}$ con $F(G)=X$ da un modelo concreto para el grupo, y el hecho de que las transformaciones naturales de $h^G$ a $F$ son 1-1 con elementos de $X$ nos dice que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $\mathrm{Sym}(X)$ ... de alguna manera?

Answer 1

Pues bien, todo anillo es isomorfo a un subring del anillo de endomorfismo de algún grupo abeliano. Véase también esta pregunta MO .

Además, un $R$ -puede entenderse como una representación de $R$ en la categoría de grupos abelianos, en el sentido de que un $R$ -módulo $M$ es igual a un homomorfismo de anillo $R \to \text{End}(M)$ . Del mismo modo, un $K$ -es lo mismo que un homomorfismo de anillo $K \to \text{End}(V)$ .

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No estoy del todo seguro de que el lema de Yoneda implique el teorema de Cayley para grupos. Ciertamente, se pueden establecer analogías entre ambos, pero creo que en algún momento, para traducir lo que implica el lema de Yoneda al lenguaje de la teoría de grupos, se acabará demostrando el teorema de Cayley de alguna forma.

Sea $G$ sea una categoría con un objeto $*$ y supongamos que todas las flechas $* \to *$ son isomorfismos. Observamos que un funtor contravariante $\rho : G^{\text{op}} \to \mathbf{Set}$ es lo mismo que una acción a la derecha (¡no a la izquierda!) de $G$ en el plató $\rho(*)$ . La incrustación de Yoneda nos da una copia isomórfica de $G$ en la categoría de funtores $\mathbf{Set}^{G^{\text{op}}}$ . En particular, $*$ se asigna al functor $\rho = \text{Hom}(-, *) : G^{\text{op}} \to \mathbf{Set}$ . Consideremos el conjunto $X = \rho(*) = \text{Hom}(*, *)$ . Entonces, $X$ es el conjunto de todas las flechas $* \to *$ en $G$ o, en lenguaje tradicional, el conjunto de todos los elementos de $G$ . Cada flecha $g : * \to *$ es un isomorfismo, por lo que $\rho(g) : X \to X$ debe ser una biyección, y $\rho(g)(h) = h g$ por definición. Lo que queremos demostrar es que $G$ se incrusta fielmente en el grupo de automorfismo $\text{Sym}(X)$ de $X$ .

El lema de Yoneda también nos dice que existe una biyección entre $X = \text{Hom}(*, *)$ y el conjunto de todas las transformaciones naturales $\rho \to \rho$ . Sin embargo, una transformación natural $\rho \to \rho$ es sólo un mapa $f : X \to X$ tal que para cada flecha $g : * \to *$ , $f \circ \rho(g) = \rho(g) \circ f$ . Esto nos dice que $G^{\text{op}}$ se integra fielmente en el monoide $\text{End}(X)$ pero necesitamos algo más fuerte. Vamos a ver lo que esto hace a la flecha de identidad $e : * \to *$ . $(\rho(g) \circ f)(e) = f(e) g$ y $(f \circ \rho(g))(e) = f(g)$ Así que $f(g) = f(e) g$ . Por lo tanto, cada transformación natural está determinada por $f(e)$ que puede ser cualquier elemento de $X$ es decir, la flecha de $G$ . Pero cada flecha de $G$ es un isomorfismo, y esto implica que $f$ debe ser una biyección. Así que ahora sabemos $G^{\text{op}}$ se integra fielmente en el grupo $\text{Sym}(X)$ . Pero $G$ y $G^{\text{op}}$ son isomorfas, así que hemos terminado.

Answer 2

Sea $C$ sea una categoría, $C'$ la categoría opuesta, y $S$ la categoría de conjuntos.

Recordemos que la incrustación natural $e$ de $C$ en la categoría $S^{C'}$ de functores de $C'$ a $S$ viene dada por las siguientes fórmulas.

$\bullet$ Si $c$ es un objeto de $C$ entonces $e(c)$ es el functor $C(\bullet,c)$ que se adjunta a cada objeto $d$ de $C$ el conjunto $C(d,c)$ de $C$ -morfismos de $d$ a $c$ .

$\bullet$ Si $x:c_1\to c_2$ está en $C(c_1,c_2)$ entonces $e(x)$ es el mapa de $C(c_2,d)$ a $C(c_1,d)$ definido por $$ e(x)(y)=yx. $$

En particular, si $C$ tiene exactamente un objeto $c$ entonces $e$ es el isomorfismo de Cayley del monoide $M:=C(c,c)$ en el monoide opuesto al monoide de endomorfismos de $M$ .

También se puede ver $e$ como un anti-isomorfismo de $M$ en su monoide de endomorfismos.