El ODE: $y' = (1-2x)y^2$
Valor inicial: $y(0) = -1/6$
He resuelto la solución particular, que es $1/(x^2-x-6)$ . No entiendo a qué se refieren con lo de la solución está definido, porque cuando grafico $1/(x^2-x-6)$ , sólo es discontinua en $x = -2, 3$ .
¿Qué significa "Determinar el intervalo en la que se define la solución" significa?
Tiene sentido considerar las soluciones sólo en los intervalos que contienen el tiempo inicial. El "intervalo en el que se define la solución" (yo lo llamaría el intervalo (máximo) de existencia) es el intervalo máximo de todos los intervalos $I$ que contienen 0 y existe una solución en $I$ . Este intervalo máximo resulta ser $(-2,3)$ en su caso.
Entonces, ¿por qué no tiene sentido considerar soluciones definidas en otros subconjuntos de $\mathbb{R}$ que los intervalos, por ejemplo $(-\infty,-2)\cup (-2,3)\cup (3,\infty)$ ? Una de las razones es que no tendrías unicidad de soluciones, por ejemplo, $$\begin{cases}1/(x^2-x-6) & x<3 \cr 0 & x>3\end{cases}$$ sería otra "solución". Lo que sucede en los otros componentes que no contienen 0 puede ser bastante arbitrario, por lo que uno no los permite.
La solución no es sólo discontinuo en $x=-2$ y $x=3$ También es indefinido en estos puntos. El intervalo máximo que contiene $0$ en el que existe una solución es el intervalo abierto $(-2,3)$ .
Editar para responder a un comentario: De forma más general, la EDO en torno a un punto $x$ tal que $y(x)\ne0$ equivale a $y'/y^2=1-2x$ Es decir, $(1/y)'=(x^2-x)'$ . Por lo tanto, en cada intervalo en el que $y$ está definida y no es idéntica a cero, existe una constante $c$ tal que $y(x)=1/(x^2-x+c)$ . El valor de $c$ depende de la condición inicial que se dé, por lo que el intervalo en el que $y$ se define también depende de la condición inicial.
En su ejemplo, $y(0)=-1/6$ Por lo tanto $c=-6$ , $y(x)=1/(x^2-x-6)$ y el intervalo máximo de definición en torno a $0$ está limitada por las raíces de $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ que están más cerca de $0$ , a saber $-2$ y $3$ .
Pero consideremos otro ejemplo: si $y(-3)=-1/8$ entonces $c=-20$ , $y(x)=1/(x^2-x-20)$ y el intervalo máximo de definición en torno a $-3$ está limitada por las raíces de $x^2-x-20=(x-5)(x+4)$ que están más cerca de $-3$ por lo que este intervalo es $(-4,+5)$ .
El intervalo también puede ser semi-infinito o infinito. Por ejemplo, si $y(-3)=1/15$ entonces $c=3$ , $y(x)=1/(x^2-x+3)$ y el intervalo máximo de definición en torno a $-3$ es la línea real $(-\infty,+\infty)$ . Si $y(-3)=1/12$ entonces $c=0$ , $y(x)=1/(x^2-x)$ y el intervalo máximo de definición en torno a $-3$ es la media línea $(-\infty,0)$ .
Y así sucesivamente.
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