¿Hay una prueba combinatoria de esta identidad de congruencia?

Question

Demostrar que %#% $ #% donde $$\binom{2p}{p} \equiv 2\pmod{p^3},$ es un número primo.

Answer 1

Una prueba combinatoria para el % de congruencia $\bmod p^2$se da a esta pregunta MO pero el contestador indica que el % de congruencia $\bmod p^3$no tiene una prueba combinatoria natural.