Generadores de un grupo libre

Question

¿Si G es un grupo libre generado por n elementos, es posible encontrar un isomorfismo de G con un grupo libre generado por n-1 o cualquier menor número de elementos?

Answer 1

Dave R la respuesta pone de relieve un principio más general: por la Yoneda lema, un objeto $X$ en una categoría se determina hasta el isomorfismo por el comportamiento de la functor $F_X = \text{Hom}(X, -)$, por lo que para mostrar que dos objetos de $X, Y$ son no isomorfos, es suficiente para mostrar que el correspondiente functors $F_X, F_Y$ no son isomorfos. (En particular, esto es suficiente para demostrar la existencia de un objeto $Z$ tal que $\text{Hom}(X, Z)$ tiene un tamaño diferente de $\text{Hom}(Y, Z)$.)

La libre grupos de $F_n$ representan algunos especiales functors $\text{Grp} \to \text{Set}$: es decir, $\text{Hom}(F_n, G)$ es, precisamente, el conjunto de $G^n$ $n$- tuplas de elementos de $G$. Esta es una manifestación de la contigüidad entre el grupo de free functor $\text{Set} \to \text{Grp}$ y el conjunto subyacente functor $\text{Grp} \to \text{Set}$, y mediante el establecimiento $G$ a cualquiera que no sea trivial finito grupo (Dave R la respuesta de los usos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) no es difícil ver que estos functors son todos nonisomorphic.

Más en general, creo que uno puede decir lo siguiente. Deje $F : D \to C$ $G : C \to D$ ser una contigüidad, por lo tanto

$$\text{Hom}_C(FX, Y) \simeq \text{Hom}_D(X, GY)$$

y supongamos que el functor $G$ es esencialmente surjective. (En este caso $G$ es el olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$ $F$ es el grupo functor $\text{Set} \to \text{Grp}$; a continuación, se trata de una clásica resultado que $G$ es esencialmente surjective.) Luego por la otra aplicación de la Yoneda lema, creo que el functors $\text{Hom}_C(FX_1, -)$ $\text{Hom}_C(FX_2, -)$ son isomorfos si y sólo si los objetos $X_1, X_2$ son isomorfos en $D$. ¿Alguien puede confirmar esto?

Answer 2

No, si $F_n$ y $F_m$ son isomorfos, entonces sus abelianizations también son isomorfos, que sólo sucede cuando n = m (por ejemplo, reducir mod p y conteo de puntos).

Answer 3

Para agregar a Noé Snyder respuesta: abelian grupos se $\mathbb{Z}$-módulos, y el anillo de $\mathbb{Z}$ tiene el Invariante de la Base Número de propiedad. Eso significa que es gratis $\mathbb{Z}$-módulos, el rango está bien definido. Más generalmente, todos los anillos conmutativos tienen esta propiedad, así como todos los de izquierda Noetherian anillos ($\mathbb{Z}$ ambos). El artículo de la wikipedia da un ejemplo de un anillo que no tiene esta propiedad, por lo que los módulos a través de que el anillo puede exhibir el comportamiento extraño que usted está buscando.

Answer 4

Aquí le damos otro enfoque. Que $G$ ser un grupo libre en $m$ generadores, y que $H$ ser un grupo libre en $n$ generadores. Hay exactamente homomorphisms de #% de $2^m$% #% a un grupo de orden dos, ya que cada generador puede asignarse de dos maneras. Asimismo, hay homomorphisms de $G$ $2^n$ a un grupo de orden dos.

Si $H$ y $G$ son isomorfos, entonces tienen el mismo número de homomorphisms a un grupo de orden dos. Por lo tanto $H$, que implica $2^m = 2^n$.