Evaluando la integral $ \int_1 ^{ \infty } \int_1 ^{ \infty } \frac { \Gamma (x+1) \Gamma (y+1)}{x y \Gamma (x+y+2)} \ dx \ dy$

Question

Durante el estudio de algunas integrales me encontré con una integral muy interesante, es decir $$ \int_1 ^{ \infty } \int_1 ^{ \infty } \frac { \Gamma (x+1) \Gamma (y+1)}{x y \Gamma (x+y+2)} \ dx \ dy$$

que se obtiene manipulando $$ \int_0 ^1 \operatorname {li}(x) \operatorname {li}(1-x) \ dx$$ Aparentemente nada parece funcionar, pero apuesto a que puedes hacer mucho más que yo. Entonces, ¿qué
herramientas que me recomendarías que probara?

Answer 1

Para calcular $$\int_{0}^{1}\operatorname{li}(x)\operatorname{li}(1-x)\,dx$$ prefiero explotar el hecho de que la función integral logarítmica admite una representación en términos del polinomios de Legendre desplazados , ya que: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}\operatorname{li}(x)\,L_n(2x-1)\,dx &=& \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\operatorname{li}(x)\frac{d^n}{dx^n}(x^2-x)^n\,dx\\&=&\frac{1}{n!}\left.\frac{L_{n+1}(2x-1)-L_{n-1}(2x-1)}{4n+2}\operatorname{li}(x)\right|_{0}^{1}\\&-&\frac{1}{(4n+2)n!}\int_{0}^{1}\frac{L_{n+1}(2x-1)-L_{n-1}(2x-1)}{\log x}\,dx.\end{eqnarray*}$$ Así, si fijamos $L_n(2x-1)=Q_n(x)$ para abreviar, tenemos: $$\operatorname{li}(x) = -\log 2-\sum_{n=1}^{+\infty} c_n Q_n(x), $$ donde: $$ c_n = \frac{1}{2n!}\int_{0}^{1}\frac{Q_{n+1}(x)-Q_{n-1}(x)}{\log x}\,dx \tag{1}$$ es una combinación lineal de logaritmos de números enteros por el teorema de Frullani y: $$\operatorname{li}(1-x) = -\log 2-\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n c_n Q_n(x), $$ dando: $$\int_{0}^{1}\operatorname{li}(x)\operatorname{li}(1-x)\,dx=\log^2 2+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n c_n^2}{2n+1}.\tag{2}$$