Ya que la pregunta fue editado, mi respuesta también se requiere una actualización.
Nos muestran que $f$ es continua en un arbitrario $x\in\mathbb{R}^{n}$. Deje $U\subset \mathbb{R}$ ser un barrio de $f(x)$. Tenga en cuenta que la propiedad $(ii)$ implica que
$$\{f(x)\}=f\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bar{B}(x,\frac{1}{n})\Big)\overset{(ii)}{=}\bigcap_{n=1}^{\infty}f\big(\bar{B}(x,\frac{1}{n})\big),$$
donde $\bar{B}(x,\frac{1}{n}):=\{y\in\mathbb{R}^{n}:\|x-y\|\leq \frac{1}{n}\}$ es el cierre $\frac{1}{n}$-radio de la bola alrededor de $x$. Por la propiedad $(i)$ $f\big(\bar{B}(x,\frac{1}{n})\big)$ es compacto (ya que por Heine-Borel cada una de las $\bar{B}(x,\frac{1}{n})$ es), y $\{f(x)\}$ es por lo tanto la intersección de las no-vacío compacto establece en un espacio de Hausdorff. Desde $U$ es el barrio de esta intersección, existe $k\in\mathbb{N}$, de modo que cada miembro de la intersección es dentro de $U$ a partir de $k$, es decir, $f\big(\bar{B}(x,\frac{1}{n})\big)\subset U$ todos los $n\geq k$. Esta propiedad es muy sencillo de demostrar, se hace, por ejemplo, aquí: Secuencia Anidada de la No-Vacío Compacto Conjuntos
Ahora elija por ejemplo,$\delta=\frac{1}{k+1}>0$, de donde $f(B(x,\delta))\subset U$. Hemos demostrado que $f$ es continua en a $x$, de donde $f$ es de hecho una función continua (desde la elección de $x$ fue arbitraria).
Respuesta antigua (antes de OP editado la pregunta) parece que cada secuencia tendrían que la propiedad que usted ha mencionado.. La propiedad $(ii)$ hace que este tipo de extrañas y la propiedad $(i)$ no juega ningún papel en absoluto. Por favor alguien me corrija si he pasado por alto algo.
Deje $x\in\mathbb{R}^{m}$ ser arbitraria e $(x_{n})_{n=1}^{\infty}\subset \mathbb{R}^{m}$ convergentes a $x$. Los conjuntos de $K_{i}:=\{x_{n}:n\geq i\}\cup \{x\}$ son compactos para cada una de las $i\in\mathbb{N}$ como cerrado y acotado a los subconjuntos de a $\mathbb{R}^{m}$ por Heine-Borel. Por otra parte, $(K_{i})_{i=1}^{\infty}$ es una disminución de la secuencia de conjuntos compactos con $\cap_{i=1}^{\infty} K_{i}=\{x\}$. Por la propiedad $(ii)$ tenemos $f(\{x\})=f(\cap_{i=1}^{\infty} K_{i})=\cup_{i=1}^{\infty}f(K_{i})$, por lo que infact $f(K_{i})=\{f(x)\}$ todos los $i\in\mathbb{N}$ y, en particular, la secuencia de $(f(x_{n}))_{n=1}^{\infty}$ es una constante de la secuencia de $f(x)$ convergentes a $f(x)$. Por lo tanto $\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=f(x)$, lo que muestra que $f$ es continua en a $x$. Por otra parte, desde la elección de $x$ fue arbitrario, tenemos que $f$ es una función continua.
