¿Descomposición ortogonal caracteriza sumas directas en espacio de Hilbert?

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert con producto interior $(\cdot, \cdot)$.

Sé que si $M$ es un subespacio cerrado de $H$, $H$ puede ser escrito como la suma directa de $M \oplus M^\perp$ donde $M^\perp$ representa el complemento ortogonal de $M$.

Me gustaría saber si esta descomposición anterior describe esencialmente directos de las sumas en espacios de Hilbert:

Si $M,N$ son subespacios cerrados de $H$ $H$ la suma directa de $M \oplus N$, entonces es cierto que $N = M^\perp$.

Hasta ahora he intentado usar una prueba directa de que, realmente, no es meterme en cualquier lugar: tome $n \in N$ y muestran que $(n,m) = 0$ $m \in M$ arbitrarias. Sin saber específica acerca de la $M$$N$, yo no soy capaz de moverse más. ¿Hay algún hecho básico sobre el producto interior que hace que todo esto funcione? O es la pregunta más profunda?

Sugerencias o soluciones son muy apreciados.

Answer 1

No necesariamente; Esto no funciona incluso en $\mathbb{R}^2$ con el producto interno usual. Tomar el $U$ $x$-eje, y $V = \{(x,y):x=y\}$, la diagonal. Entonces $\mathbb{R}^2 = U\oplus V$, pero nada que no sea de $0$ $V$ es ortogonal a cualquier cosa en $U$ diferente $0$.

Answer 2

Como resultado positivo:

Para descomposiciones ortogonales: $$\mathcal{H}=U\oplus V:\quad U\perp V\implies U=V^\perp,V=U^\perp$ $ Nota él no asumió vallas.