Una función similar a la de Lipschitz que no se puede diferenciar en ninguna parte.

Question

He estado tratando este problema de Stein, pero sin suerte.

Considere la función $$f_{1}(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty }{2^{-n} e^{2 \pi i 2^{n} x} }.$$ a) Probar que $f_{1}$ satisface $|f_{1}(x)-f_{1}(y)| \leq A_{ \alpha }|x-y|^{ \alpha }$ para cada uno $ \alpha \in (0,1)$ .

b) $f_{1}$ no se puede diferenciar en ninguna parte, por lo tanto, no es de variación limitada.

Suena hermoso y me preguntaba si hay alguna buena prueba. Un amigo me dice que hay una teoría más general sobre algunas de las llamadas funciones de Hilbert que justifican esto, pero estoy interesado en algo más fácil!

¡Gracias!

Answer 1

Desigualdad del triángulo y rendimiento del teorema del valor medio $$ \begin {align} |f_1(x)-f_1(y)| & \le\sum_ {n=0}^ \infty2 ^{-n} \left |e^{2 \pi i2^nx}-e^{2 \pi i2^ny} \right | \\ &= \sum_ {n=0}^ \infty2 ^{-n} \left |e^{2 \pi i2^nx}-e^{2 \pi i2^ny} \right |^{1- \alpha } \left |e^{2 \pi i2^nx}-e^{2 \pi i2^ny} \right |^ \alpha\\ & \le\sum_ {n=0}^ \infty2 ^{-n}2^{1- \alpha }(2 \pi2 ^n)^ \alpha |x-y|^ \alpha\\ &=2 \pi ^ \alpha\frac {1}{1-2^{ \alpha -1}}|x-y|^ \alpha\\ &=A_ \alpha |x-y|^ \alpha \end {align} $$ Tenga en cuenta que como $ \alpha\to1 ^-$ , $A_ \alpha\to\infty $ .

Hardy demuestra en el Teorema $1.31$ de La función indiferenciable de Weierstrass que $f_1$ no se puede diferenciar en ninguna parte.

Answer 2

Dividamos la suma en dos: $$ \sum_ {n=0}^{N}{2^{-n} e^{2 \pi i 2^{n} x} } + \sum_ {n=N+1}^{ \infty }{2^{-n} e^{2 \pi i 2^{n} x} }=S_1(x)+S_2(x). $$ La diferencia de la primera suma puede ser estimada por el teorema del valor medio: $$ | \Delta S_1(x)| \le \sum_ {n=0}^{N}{2^{-n} (2 \pi 2^{n} | \Delta x|)} =2 \pi (N+1)| \Delta x|, $$ y las segundas están mejoradas por la suma de una progresión geométrica infinita: $$ | \Delta S_2(x)| \le \sum_ {n=N+1}^{ \infty }{2^{-n}}=2^{-N}. $$ Ahora por supuesto $ \Delta x$ uno puede elegir $N$ s.t. ambos sumandos satisfacen la estimación requerida.