¿Encontrar el radio de la central de radio?

Question

¿Hay alguna forma fácil de obtener el radio de la central de radio?

Answer 1

Este es un enfoque más general : consideramos varias capas de círculos con $n$ círculos por capa. Las capas están numerados $ 1 , 2, 3, ... k, ...$. El pequeño círculo interior no está incluido ( hay $n$ círculos en el número de la capa 1 ).

La siguiente figura muestra las notaciones y cómo la repetición de la fórmula se deriva, que conduce a la relación entre el radio de los círculos de la k-ieme capa y el radio de los círculos de la primera capa.

De vuelta al caso considerado en la pregunta planteada por el "Complejo Tipo", hay 2 capas. El radio de los círculos en la capa 2 está dado. La aplicación de la fórmula anterior conduce a la fórmula para la radio de el pequeño círculo interno.

Answer 2

Deje $(0,0)$ ser el centro de la figura y $(a,0)$ el centro de uno de la radio de $r$ círculos y dejar que el círculo minúsculo ser un círculo unitario. Deje $(b,c)$ ser el centro de uno de los meium círculos de tamaño tocar el $x$-eje. Entonces por Pitágoras $$\tag1b^2+c^2=(c+1)^2$$ and $$\tag2(a-b)^2+c^2=(r+c)^2.$$ Por otra parte, por las simetrías de la figura $$\tag3r:a = c:(c+1) = \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt 5)}}{4}.$$ De $(3)$ encontramos $$c=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt 5)}}{4-\sqrt{2(5-\sqrt 5)}},$$ then with $(1)$ $$ b=\sqrt{\frac{4+\sqrt{2(5-\sqrt 5)}}{4-\sqrt{2(5-\sqrt 5)}}}.$$ (Yo era demasiado perezoso para simplificar estas expresiones). El uso de estos valores y $(3)$ a eliminar $a$, $(2)$ se convierte en una ecuación de segundo grado en $r$ (que se parece un poco complicado, por lo que uno realmente debe pasar un par de pensamientos en la simplificación de todos los surd expressins primera). En definitiva, hemos calculado $r$ como la relación de los radios de las grandes círculos y el pequeño círculo. Invertir para calcular el radio del círculo pequeño si la gran radio dado.