Yendo más lejos en qué secciones de la regla de paquetes de línea mapas en espacios proyectivos

Question

Mi pregunta se encuentra en el intento de seguir el argumento de abajo.

Dado normal de una variedad algebraica $X$, y una línea de paquete de $\mathcal{L}\rightarrow X$ que es suficiente, entonces, finalmente, una línea de paquete, con suficiente sección para definir una incrustación $\phi:X\rightarrow \mathbb(H^0(X,\mathcal{L}^{\otimes d}))=\mathbb{P}^N$ (aviso que $N$ depende de $d$). Sin embargo, si la línea de paquete NO es suficiente todavía podemos decir algo acerca de la existencia de un cierto mapa de $\phi_d$; el llamado Iitaka fibration. Voy a omitir algunos detalles, pero el argumento de la construcción va (más o menos) de la siguiente manera. Supongamos en primer lugar que el $\mathcal{L}$ es a base de punto de base. Es decir, que no hay puntos (o un conjunto) de $X$ que todos los hyperplanes de $\mathbb{P}^N$ pasar a través. Entonces, esa línea de haz de definir un sistema lineal $|\mathcal{L}^d|$, lo que da lugar a un morfismos $\phi_d:X\rightarrow \phi_d(X)\subset\mathbb{P}^N$ (de nuevo, $N$ depende de $d$). Un mapa puede no ser una incrustación, sin embargo $\phi_d:X\rightarrow \phi(X)$ es una expresión algebraica de la fibra de espacio. Mi pregunta es la siguiente. Como puedo aumentar el valor de $d$ la imagen $\phi_d(X)\subset \mathbb{P}^N$ puede cambiar, sin embargo, como cuestión de hecho, en una imagen de "estabiliza" como $d$ se hace más grande. Lo que significa que si $d$ es lo suficientemente grande, la imagen de si $\phi_d$ es la "misma" independientemente $d$.

- ¿Cuál es la razón para que esto suceda? -¿Qué está pasando con todas las secciones de $\mathcal{L}^{\otimes d}$ que me estoy poniendo como puedo aumentar el valor de $d$?. Apreciaré cualquier comentario.

Como resultado, debido al hecho de que después de un tiempo ya no nos preocupamos por el valor de $d$, podemos asociar el espacio $X\rightarrow \phi(X)$ a la línea de paquete de $\mathcal{L}$. Aquí, la variedad de $\phi(X)$ ya no depende de la $d$.

Podría alguien comentar algo más acerca de la palabra "estabiliza"?.

Answer 1

Deje $R(X,\mathcal L)=\oplus_d H^0(X,\mathcal L^{\otimes d})$ como se clasifica los anillos, $s_0,\dots s_m\in H^0(X,\mathcal L^{\otimes d})$ y, finalmente, $R(X,\mathcal L,s_{\cdot})$ el (clasificado) sub-anillo generado por la $s_0,\dots s_m$$R(X,\mathcal L)$.

Hechos:

1. ${s_0,\dots,s_m}$ definir una racional mapa de $\sigma: X\dashrightarrow \mathbb P^m$. Si ${s_0,\dots,s_m}$ generar $H^0(X,\mathcal L^{\otimes d})$, $\sigma$ está de acuerdo con $\phi_t$.

2. Si $\vert\{s_0,\dots,s_m\}\vert$ es un punto de base libre de sistema lineal, a continuación, $\sigma$ es una de morfismos. y $\sigma(X)\simeq {\rm Proj}\, R(X,\mathcal L, s_{\cdot})$.

3. Si $R(X,\mathcal L,s_{\cdot})$ tiene la propiedad de que para algunos $a\in\mathbb N$, $R(X,\mathcal L,s_{\cdot})_{ak}=R(X,\mathcal L)_{ak}$ para todos los $k\in \mathbb N, k\gg 0$, luego ${\rm Proj}\, R(X,\mathcal L, s_{\cdot})\simeq {\rm Proj}\, R(X,\mathcal L)$ (creo que de la $a$-uple incrustación de objetos).

4. Desde $R(X,\mathcal L)$ es finitely generado, si $s_0,\dots s_m\in H^0(X,\mathcal L^{\otimes d})$ son elegidos de forma que generen $H^0(X,\mathcal L^{\otimes d})$, luego por lo suficientemente grande como $d$ la propiedad en 3) no podrán ser satisfechos, por que 1) y 2) $\phi_d(X)\simeq {\rm Proj}\, R(X,\mathcal L)$ which is independent of $d$, por lo tanto se estabiliza.

Answer 2

• La secuencia se estabiliza porque cualquier secuencia de la incremento de delimitada enteros (las dimensiones de las imágenes de $X$) se estabiliza, pero supongo que te refieres a algo diferente.

• Supongamos que ya se ha estabilizado $X\to|L|$, entonces el mapa $X\to|2L|$ se descompone mediante el mapa $|L|\to\mathbb{P}\mathrm{Sym}^2 H^0(L)\to\mathbb{P} H^0(2L)$.

Donde el primer mapa es el Veronese, y la segunda es una proyección.