Prueba $V=V_{\sf On}$ $\sf Z+Reg$

Question

Definir la función de $$V_0=\emptyset,\qquad V_{\alpha+1}={\cal P}(V_\alpha),\qquad V_{\delta}=\bigcup_{\beta<\delta}V_\beta.$$

Ya estamos trabajando en $\sf Z$ ($\sf ZF$ sin el axioma de reemplazo, tenga en cuenta que la regularidad es un axioma de la $\sf Z$ para mí), hay algunas dificultades en hacer de la recursión transfinita, y, en particular, esto no necesariamente definir una función en $\sf On$. En lugar de eso, lo que pasa es que la recursividad continúa mientras los segmentos inicial de la función existe, y se detiene en algunos límite ordinal $\kappa$ (que puede o no puede ser un conjunto) de tal manera que la función de $\alpha\in\kappa\mapsto V_\alpha$ es una clase adecuada con el dominio $\kappa$ pero $\alpha\in\beta\mapsto V_\alpha$ es una función de conjunto para cualquier $\beta<\kappa$. (La notación nota: $V_\delta$ un límite ordinal $\delta\ge\kappa$ significa que la clase adecuada de la unión de todos los $V_\beta$, incluso aunque este no está en el rango de la función, y, en particular, $V_{\sf On}$ significa que la unión de todos los $V_\alpha$.)

La tarea es mostrar que esta jerarquía de conjuntos cubre $V$ (el universo). Desde el modelo habitual para $\sf Z$, $V_{\omega2}$, no en el hecho de satisfacer a esta propiedad, es al menos plausible. Hay dos puntos problemáticos en el habitual $\sf ZF$ derivación. La primera parte es para demostrar que si $A\subseteq V_{\sf On}$ $A$ es un conjunto, entonces $A\in V_{\sf On}$. La segunda parte es el uso de regularidad para demostrar que este cubre todos los conjuntos.

Un boceto de la primera parte: un $A$, definir $\alpha=\bigcup_{x\in A}\DeclareMathOperator{\rank}{rank}\rank x$ donde $\rank x$ es la función en $V_{\sf On}$, lo que da a los más pequeños a $\beta$ tal que $x\subseteq V_\beta$. A continuación, por sustitución, $\alpha$ es un conjunto, y cada una de las $x\subseteq V_{\rank x}\subseteq V_\alpha$$x\in V_{\alpha+1}$, lo $A\in V_{\alpha+2}$. Me siento como el hecho de que $A$ es un conjunto no era lo suficientemente aplicado en esta instancia con el fin de asegurarse de que $\alpha$ no es demasiado grande. De trabajo en $\sf ZF$, ¿hay algún conjunto de modelos de $\sf Z$ otros de $V_{\alpha}$ para algunos límite ordinal $\alpha>\omega$?

Para la segunda parte, tengo bastante menos esperanza. Dada una clase de $A$ que satisface $x\subseteq A\to x\in A$, el objetivo es mostrar que la $A=V$. Aquí está la $\sf ZF$ a prueba de dibujo: si hay un $z\in V\setminus A$, a continuación, construir la clase $\operatorname{TC}(z)$, el más pequeño conjunto transitivo que contiene a $z$. Suponiendo que esto define un conjunto, tenemos $z\in\operatorname{TC}(z)\setminus A$, por lo que podemos aplicar la regularidad para obtener un $x\in\operatorname{TC}(z)\setminus A$$x\cap\operatorname{TC}(z)\setminus A=\emptyset$. Pero por transitividad $x\subseteq\operatorname{TC}(z)$, lo $x\cap\operatorname{TC}(z)=x$ e lo $x\setminus A=\emptyset$ o $x\subseteq A$. Pero $x\notin A$, en contradicción con la hipótesis original, por lo tanto,$V\setminus A=\emptyset$$A=V$.

El lugar donde la sustitución se cuele en la prueba de la existencia de transitivas cierres, que utiliza el conjunto de $\operatorname{TC}(z)=\bigcup_{n\in\omega}f(n)$ donde$f(0)=\{z\}$$f(n+1)=f(n)\cup\bigcup f(n)$. Estoy bastante seguro de que la sustitución es esencial aquí, pero me gustaría algunas respuestas definitivas sobre qué partes de esta prueba requiere de reemplazo y que las partes pueden evitar mediante un método alternativo. Yo no soy muy buena en la construcción de un modelo, que es generalmente la forma más fácil para responder a este tipo de cosas, así que tal vez alguien de aquí sabe las respuestas a estas preguntas.

Answer 1

Uno no puede probar esto de $Z$ + Fundación. De hecho, uno no puede probar que $V = \bigcup V_\alpha$ en $Z$ + Fundación + $\forall \alpha (V_\alpha$ existe). Para obtener más información, consulte esta respuesta de mathoverflow.